Em um plano cartesiano considere os pontos A=(4,6) e B=(6,5). Determine um ponto C no eixo x e determine um ponto D no eixo y de modo que A B C D seja um paralelogramo contido no primeiro quadrante. Calcule a área dele.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar um ponto C no eixo x e um ponto D no eixo y tais que os pontos A=(4,6), B=(6,5), C e D formem o paralelogramo A B C D contido no primeiro quadrante.
Calcular a área desse paralelogramo.
Informações dadas:
A=(4,6).
B=(6,5).
C está no eixo x, portanto tem a forma C=(x_C,0) com x_C>0.
D está no eixo y, portanto tem a forma D=(0,y_D) com y_D>0.
Passo 2
Vamos escrever vetores que aparecem naturalmente quando trabalhamos com paralelogramos: para os vértices na ordem A\to B\to C\to D, os lados consecutivos são os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA}. Uma propriedade chave do paralelogramo é que lados opostos são iguais (mesma direção e mesmo comprimento). Assim:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
Aqui cada vetor é obtido subtraindo coordenadas do ponto final menos do ponto inicial; por exemplo \overrightarrow{AB}=B-A.
Passo 3
Calculemos \overrightarrow{AB}. Usando A=(4,6) e B=(6,5) temos:
\overrightarrow{AB}=B-A=(6-4,\;5-6)=(2,\,-1).
Escrevemos C=(x_C,0) e D=(0,y_D). A condição \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} é
C-D = B-A.
Agora substituímos coordenadas:
(x_C,0)-(0,y_D)=(2,-1).
Isto dá duas equações escalares (uma para cada componente):
x_C-0=2,\qquad 0-y_D=-1.
Passo 4
Resolva as equações escalares obtidas:
x_C=2,
-y_D=-1 \implies y_D=1.
Portanto os pontos são
C=(2,0),\qquad D=(0,1).
Passo 5
Verificação rápida de que o paralelogramo fica no primeiro quadrante: todos os vértices têm coordenadas não-negativas e pelo menos uma coordenada positiva (A e B têm ambas positivas, C tem x>0, D tem y>0). Segmentos entre esses pontos são combinações convexas das coordenadas dos extremos, logo permanecem no primeiro quadrante. Assim a condição de estar contido no primeiro quadrante está satisfeita.
Passo 6
Agora calculamos a área do paralelogramo. Uma fórmula conveniente: se dois lados consecutivos a partir de A são os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD}, a área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante 2×2 formado por esses vetores: