Calcule o produto escalar u cdot v para os seguintes casos. Além disso, calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
u=(1,1,1), v=P Q para P=(-1,1,1) e Q=(1,1,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3:
u=(1,1,1) e v=PQ com P=(-1,1,1) e Q=(1,1,-2).
O conteúdo aqui é geometria vetorial, em particular calcular o produto escalar e o cosseno do ângulo entre dois vetores. Vamos precisar da definição de vetor diferença, do produto escalar
ucdotv=sum ui vi
e das normas |u|=raizsum ui^2.

Passo 2

Calcular v=PQ=Q-P.
v = (1-(-1),;1-1,;-2-1) = (2,,0,,-3)

Passo 3

Calcular o produto escalar
ucdotv = (1)cdot2 + (1)cdot0 + (1)cdot(-3) = 2 + 0 - 3 = -1

Passo 4

Calcular as normas e o cosseno do ângulo.
|u| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3, |v| = raiz2^2+0^2+(-3)^2 = raiz13
Então
cos(theta) = ucdotv|u|;|v| = -1raiz3,raiz13 = -1raiz39

Resposta

Produto escalar: ucdotv=-1.
Cosseno do ângulo: cos(theta)=-dfrac1raiz39.

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