Mostre que:
|ccca+b+2 c & a & b c & b+c+2 a & b c & a & c+a+2 b|=2 cdot(a+b+c)^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
a+b+2c & a & b [6pt] c & b+c+2a & b [6pt] c & a & c+a+2b
é igual a 2,(a+b+c)^3. Vamos usar operações elementares em linhas para simplificar a matriz antes de calcular o determinante.]

Passo 2

Definimos
S = a+b+c
Note que as entradas da diagonal podem ser escritas como
a+b+2c = S+c, b+c+2a = S+a, c+a+2b = S+b
Aplicamos as operações de linha
L2 L2 - L1, L3 L3 - L1,
que não alteram o determinante. A matriz torna-se
S+c & a & b [3pt] c-(S+c) & (b+c+2a)-a & b-b [3pt] c-(S+c) & a-a & (c+a+2b)-b ;=; S+c & a & b [3pt] -S & S & 0 [3pt] -S & 0 & S ]

Passo 3

Expandimos o determinante pela primeira linha:
det = (S+c),S & 0[3pt]0 & S - a,-S & 0[3pt]-S & S + b,-S & S[3pt]-S & 0
Calculando cada menor de ordem 2:
S & 0[3pt]0 & S = S^2, -S & 0[3pt]-S & S = -S^2, -S & S[3pt]-S & 0 = S^2
Substituindo:
det = (S+c),S^2 - a,(-S^2) + b,S^2 = S^2l((S+c)+a+br) = S^2,(S + (a+b+c)) = S^2,(2S) ]

Passo 4

Como S=a+b+c, concluímos
det = 2,S^3 = 2,(a+b+c)^3

Resposta

2,(a+b+c)^3

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