Determine os números a1 e a2 tais que w=a1 u+a2 v, sendo u=(1,2), v=(2,-2) e w=(-1,3).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor w=(-1,3) como combinação linear de u=(1,2) e v=(2,-2), ou seja encontrar escalares a1 e a2 tais que
w=a1,u+a2,v
O conteúdo aqui é montar um sistema linear a partir da igualdade de componentes e resolvê-lo.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos
primeira componente:
a1cdot1 + a2cdot2 = -1,
segunda componente:
a1cdot2 + a2cdot(-2) = 3

Passo 3

Para eliminar a1, multiplico a primeira equação por 2:
2a1 + 4a2 = -2
Em seguida subtraio a segunda equação
(2a1+4a2) - (2a1-2a2) = -2 - 3
resultando em
6a2 = -5 Longrightarrow a2 = -tfrac56

Passo 4

Agora substituo a2=-tfrac56 na primeira equação
a1 + 2l(-tfrac56r) = -1 Longrightarrow a1 - tfrac53 = -1 Longrightarrow a1 = tfrac23

Resposta

a1 = tfrac23, a2 = -tfrac56

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