Calcule o produto escalar entre \vec{A}=(2,3,-1) e \vec{B}=(-1,4,2).

Passo 1

O enunciado fornece os dois vetores e pede o produto escalar entre eles. Informações dadas:
  • \vec{A} = (2,3,-1).
  • \vec{B} = (-1,4,2).
    O que é pedido: calcular \vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. Para vetores em coordenadas cartesianas em \mathbb{R}^3, escrevendo
\vec{A} = (A_x,A_y,A_z) e \vec{B} = (B_x,B_y,B_z),
o produto escalar (ou produto interno) é dado por
\vec{A}\cdot\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.
Explicação das variáveis: A_x é a componente x de \vec{A}, B_y é a componente y de \vec{B}, etc. O resultado é um número real (um escalar), não um vetor.

Passo 3

Regra prática para calcular: multiplica-se componente por componente (x com x, y com y, z com z) e soma-se os produtos. Atenção aos sinais: produto de números com sinais diferentes é negativo, com mesmo sinal é positivo.

Passo 4

Identificar componentes dos vetores dados:
  • Para \vec{A}=(2,3,-1): A_x=2, A_y=3, A_z=-1.
  • Para \vec{B}=(-1,4,2): B_x=-1, B_y=4, B_z=2.
Aplicando a fórmula:
\vec{A}\cdot\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = (2)(-1) + (3)(4) + (-1)(2).

Passo 5

Calcular cada produto e somar passo a passo:
(2)(-1) = -2,
(3)(4) = 12,
(-1)(2) = -2.
Somando:
-2 + 12 + (-2) = -2 + 12 - 2 = 8.

Passo 6

Verificação rápida (opcional): magnitudes
\lVert \vec{A}\rVert = \sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14},
\lVert \vec{B}\rVert = \sqrt{(-1)^2+4^2+2^2}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}.
Usando \vec{A}\cdot\vec{B} = \lVert \vec{A}\rVert\lVert \vec{B}\rVert\cos\theta obtém-se
\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert \vec{A}\rVert\lVert \vec{B}\rVert} = \frac{8}{\sqrt{14}\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}},
um valor válido (entre -1 e 1), o que confirma que o resultado é plausível.

Resposta

8

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