Determine os vetores unitários correspondentes a
\vec{A}=(3,0,4)) \text { e } \vec{B}=(1,2,2)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço e pede os vetores unitários correspondentes. Informações fornecidas:
\vec{A}=(3,0,4) e \vec{B}=(1,2,2).
A pergunta é: calcular o vetor unitário na mesma direção de \vec{A} e o vetor unitário na mesma direção de \vec{B}.

Passo 2

O que é um vetor unitário e como calculá-lo.
  • Um vetor unitário é um vetor com comprimento (norma) igual a 1 que aponta na mesma direção de um dado vetor.
  • Para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), a norma (magnitude) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor nas direções x,y,z.
  • O vetor unitário na direção de \vec{v} é dado por
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{v_x}{\|\vec{v}\|},\frac{v_y}{\|\vec{v}\|},\frac{v_z}{\|\vec{v}\|}\right).
Isto significa: divide-se cada componente do vetor pela sua norma. Assim preserva-se a direção, e a norma passa a ser 1.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{A}.
\|\vec{A}\|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Obter o vetor unitário na direção de \vec{A}.
Usando \hat{A}=\dfrac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|},
\hat{A}=\frac{1}{5}(3,0,4)=\left(\tfrac{3}{5},0,\tfrac{4}{5}\right).
Explicando: cada componente de \vec{A} foi dividida por 5, resultando em \tfrac{3}{5}, 0 e \tfrac{4}{5}.

Passo 5

Calcular a norma de \vec{B}.
\|\vec{B}\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Obter o vetor unitário na direção de \vec{B}.
Usando \hat{B}=\dfrac{\vec{B}}{\|\vec{B}\|},
\hat{B}=\frac{1}{3}(1,2,2)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
Explicando: cada componente de \vec{B} foi dividida por 3.

Passo 7

Verificação rápida de que os resultados têm norma 1.
  • Para \hat{A}:
\|\hat{A}\|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^2+0^2+\left(\tfrac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
  • Para \hat{B}:
\|\hat{B}\|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{2}{3}\right)^2+\left(\tfrac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}}=\sqrt{\tfrac{9}{9}}=1.
Ambos são vetores unitários como desejado. Força aí — você já domina a técnica: norma e dividir cada componente!

Resposta

\displaystyle \hat{A}=\left(\tfrac{3}{5},0,\tfrac{4}{5}\right)
\displaystyle \hat{B}=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right)

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