Mostre que dois vetores são lineares se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: provar que, dados dois vetores
e
em um espaço vetorial
sobre um corpo (campo)
, os vetores
e
são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, mostrar a equivalência entre:
- (A) a afirmativa “os vetores
e são linearmente dependentes”; - (B) a afirmativa "existe
tal que " (ou, equivalentemente, existe tal que ).
Não há outros dados numéricos: a prova é geral para quaisquer vetores
em
.
Passo 2
Definições essenciais (explicadas devagar).
- Definição de linearmente dependentes (para dois vetores): os vetores
e são linearmente dependentes se existem escalares , não ambos zero, tais que
“Não ambos zero” significa que pelo menos um dos escalares é diferente de zero — isto evita a combinação trivial
.
- Definição de múltiplo escalar: dizemos que
é múltiplo escalar de se existe tal que
Explicação do que cada símbolo significa:
é o vetor nulo em
; os produtos
e
são a multiplicação de um escalar pelo vetor; e a soma é a soma vetorial em
.
Passo 3
Prova da primeira implicação: “se um é múltiplo do outro, então são linearmente dependentes”.
Suponha que para algum
. Então
Suponha que
Aqui os escalares usados são
e
. Esses escalares não são ambos zero (porque
). Assim existe uma combinação linear não trivial que dá zero, logo
e
são linearmente dependentes. Nota: esse argumento cobre também o caso
porque então
e a combinação
também é não trivial.
Passo 4
Prova da segunda implicação: “se são linearmente dependentes, então um é múltiplo do outro”.
Suponha que e
são linearmente dependentes. Então existem
, não ambos zero, tais que
Suponha que
Analisamos casos conforme quais coeficientes são nulos ou não.
Caso 1:
. Então podemos isolar
:
Como
e estamos num corpo
,
tem inverso multiplicativo
. Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Ou seja,
é múltiplo escalar de
.
Caso 2:
. Como
e
não são ambos zero, nesse caso
. A igualdade
fica
Como
, multiplicando por
segue
. Mas
é exatamente
, ou seja,
é múltiplo escalar de
.
(Se preferir, os casos poderiam ser trocados iniciando por
; a lógica é simétrica.)
Portanto, em todos os casos, a dependência linear implica que um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
Passo 5
Comentário sobre a etapa técnica usada: nas manipulações acima foi usada a propriedade do corpo
de que todo escalar não nulo tem inverso multiplicativo. Isso permite dividir por
ou
quando eles não são zero e resolver para um dos vetores. Também tratamos explicitamente o caso do vetor nulo, que é um caso limítrofe (qualquer vetor é múltiplo do vetor nulo e o vetor nulo torna qualquer conjunto dependente).
Passo 6
Resumo prático — como aplicar isso na prova, com jeitinho:
- Se quer verificar se dois vetores em
são dependentes, uma maneira rápida é tentar achar resolvendo as equações coordenada a coordenada:
Se todas as coordenadas dão o mesmo
, então
e são dependentes. Se não existir
consistente, são independentes.
- Exemplos rápidos:
-
e . Aqui porque e . Logo e são dependentes. -
e . Não existe que satisfaça as duas igualdades simultaneamente, logo são independentes.
-
Passo 7
Conclusão final lógica: mostramos as duas implicações (um sendo múltiplo implica dependência; dependência implica um ser múltiplo), cobrimos os casos especiais e explicamos a técnica prática. Assim a equivalência está provada.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes se, e somente se, existe
tal que
.