Mostre que dois vetores são lineares se e somente se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: provar que, dados dois vetores u e v em um espaço vetorial V sobre um corpo (campo) F, os vetores u e v são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, mostrar a equivalência entre:
  • (A) a afirmativa “os vetores u e v são linearmente dependentes”;
  • (B) a afirmativa "existe \lambda\in F tal que u=\lambda v" (ou, equivalentemente, existe \mu\in F tal que v=\mu u).
Não há outros dados numéricos: a prova é geral para quaisquer vetores u,v em V.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas devagar).
  • Definição de linearmente dependentes (para dois vetores): os vetores u e v são linearmente dependentes se existem escalares a,b\in F, não ambos zero, tais que
a\,u+b\,v=0.
“Não ambos zero” significa que pelo menos um dos escalares é diferente de zero — isto evita a combinação trivial 0\cdot u+0\cdot v=0.
  • Definição de múltiplo escalar: dizemos que u é múltiplo escalar de v se existe \lambda\in F tal que
u=\lambda v.
Explicação do que cada símbolo significa: 0 é o vetor nulo em V; os produtos a\,u e b\,v são a multiplicação de um escalar pelo vetor; e a soma é a soma vetorial em V.

Passo 3

Prova da primeira implicação: “se um é múltiplo do outro, então são linearmente dependentes”.
Suponha que u=\lambda v para algum \lambda\in F. Então
1\cdot u + (-\lambda)\cdot v = u - \lambda v = 0.
Aqui os escalares usados são a=1 e b=-\lambda. Esses escalares não são ambos zero (porque a=1\neq0). Assim existe uma combinação linear não trivial que dá zero, logo u e v são linearmente dependentes. Nota: esse argumento cobre também o caso u=0 porque então u=0\cdot v e a combinação 1\cdot u + 0\cdot v=0 também é não trivial.

Passo 4

Prova da segunda implicação: “se são linearmente dependentes, então um é múltiplo do outro”.
Suponha que u e v são linearmente dependentes. Então existem a,b\in F, não ambos zero, tais que
a\,u+b\,v=0.
Analisamos casos conforme quais coeficientes são nulos ou não.
Caso 1: b\neq 0. Então podemos isolar v:
b\,v = -a\,u.
Como b\neq0 e estamos num corpo F, b tem inverso multiplicativo b^{-1}. Multiplicando ambos os lados por b^{-1} obtém-se
v = -\frac{a}{b}\,u.
Ou seja, v é múltiplo escalar de u.
Caso 2: b=0. Como a e b não são ambos zero, nesse caso a\neq0. A igualdade a\,u+b\,v=0 fica
a\,u = 0.
Como a\neq0, multiplicando por a^{-1} segue u=0. Mas u=0 é exatamente u=0\cdot v, ou seja, u é múltiplo escalar de v.
(Se preferir, os casos poderiam ser trocados iniciando por a\neq0; a lógica é simétrica.)
Portanto, em todos os casos, a dependência linear implica que um dos vetores é múltiplo escalar do outro.

Passo 5

Comentário sobre a etapa técnica usada: nas manipulações acima foi usada a propriedade do corpo F de que todo escalar não nulo tem inverso multiplicativo. Isso permite dividir por a ou b quando eles não são zero e resolver para um dos vetores. Também tratamos explicitamente o caso do vetor nulo, que é um caso limítrofe (qualquer vetor é múltiplo do vetor nulo e o vetor nulo torna qualquer conjunto dependente).

Passo 6

Resumo prático — como aplicar isso na prova, com jeitinho:
  • Se quer verificar se dois vetores em \mathbb{R}^n são dependentes, uma maneira rápida é tentar achar \lambda resolvendo as equações coordenada a coordenada:
u_i = \lambda v_i\quad\text{para todas as coordenadas }i.
Se todas as coordenadas dão o mesmo \lambda, então u=\lambda v e são dependentes. Se não existir \lambda consistente, são independentes.
  • Exemplos rápidos:
    • u=(2,4) e v=(1,2). Aqui \lambda=2 porque 2=2\cdot1 e 4=2\cdot2. Logo u=2v e são dependentes.
    • u=(1,0) e v=(0,1). Não existe \lambda que satisfaça as duas igualdades simultaneamente, logo são independentes.

Passo 7

Conclusão final lógica: mostramos as duas implicações (um sendo múltiplo implica dependência; dependência implica um ser múltiplo), cobrimos os casos especiais e explicamos a técnica prática. Assim a equivalência está provada.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente dependentes se, e somente se, existe \lambda\in F tal que u=\lambda v.

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