Mostre que dois vetores são ortogonais se, e somente se, \vec{A} \cdot \vec{B}=0.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{A} e \vec{B} (em \mathbb{R}^n, por exemplo) e pede para mostrar a equivalência lógica:
\text{\(\vec{A}\) e \(\vec{B}\) são ortogonais} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{A}\cdot\vec{B}=0.ã
Informações relevantes fornecidas: os dois vetores arbitrários \vec{A} e \vec{B}. O que se pede: provar as duas implicações (se são ortogonais então o produto escalar é zero; e se o produto escalar é zero então são ortogonais). A resolução seguirá mostrando cada implicação com cuidado e tratando o caso especial do vetor nulo.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Produto escalar (algebraico, em coordenadas): se \vec{A}=(A_1,A_2,\dots,A_n) e \vec{B}=(B_1,B_2,\dots,B_n), então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+\cdots+A_nB_n.
Aqui cada A_i e B_i é a componente do vetor na i-ésima direção.
  • Produto escalar (geométrico): o produto escalar também pode ser expresso pela magnitude (norma) dos vetores e pelo ângulo \theta entre eles:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta,
onde |\vec{A}| é o comprimento de \vec{A} (norma) e \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}, com 0\le\theta\le\pi.
  • Ortogonalidade: convencionamos que dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é \theta=\tfrac{\pi}{2} (ou seja, 90^\circ). Observação importante: o vetor nulo \vec{0} tem produto escalar zero com qualquer vetor; tipicamente admite-se que \vec{0} é ortogonal a todo vetor (por convenção), embora o “ângulo” com o vetor nulo não seja bem definido.

Passo 3

Prova da implicação 1: se \vec{A} e \vec{B} são ortogonais então \vec{A}\cdot\vec{B}=0.
  • Se os vetores são ortogonais, por definição o ângulo entre eles é \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Usando a fórmula geométrica do produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta.
  • Substituindo \theta=\tfrac{\pi}{2} e lembrando que \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, obtemos
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cdot 0=0.
  • Caso especial: se um dos vetores for \vec{0}, então \vec{A}\cdot\vec{B}=0 pela fórmula em coordenadas e, por convenção, esse caso é considerado ortogonal. Logo a implicação vale também quando um vetor é nulo.

Passo 4

Prova da implicação 2: se \vec{A}\cdot\vec{B}=0 então \vec{A} e \vec{B} são ortogonais (com cuidado no caso do vetor nulo).
  • Começamos assumindo \vec{A}\cdot\vec{B}=0.
  • Se \vec{A}=\vec{0} ou \vec{B}=\vec{0}, então por convenção o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, então a conclusão segue.
  • Se nenhum dos vetores é nulo, então |\vec{A}|>0 e |\vec{B}|>0. Usando a forma geométrica do produto escalar e dividindo por |\vec{A}|\,|\vec{B}| (número positivo), obtemos
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}=\frac{0}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}=0.
  • Como o ângulo entre vetores é tomado no intervalo 0\le\theta\le\pi, a única solução desse intervalo para \cos\theta=0 é \theta=\tfrac{\pi}{2}. Portanto o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é \tfrac{\pi}{2}, isto é, eles são ortogonais.

Passo 5

Recapitulando e observações finais.
  • Mostramos as duas direções: ortogonalidade ( \theta=\tfrac{\pi}{2}) implica \vec{A}\cdot\vec{B}=0, e \vec{A}\cdot\vec{B}=0 (com vetores não nulos) implica \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Tratamos também o caso do vetor nulo: ele tem produto escalar zero com qualquer vetor e é geralmente considerado ortogonal a todos eles por convenção.
  • Portanto, a condição \vec{A}\cdot\vec{B}=0 é exatamente a condição que caracteriza ortogonalidade entre vetores.

Resposta

Dois vetores \vec{A} e \vec{B} são ortogonais se, e somente se, \vec{A}\cdot\vec{B}=0.

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