Mostre que dois vetores são ortogonais se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
e
(em
, por exemplo) e pede para mostrar a equivalência lógica:
Informações relevantes fornecidas: os dois vetores arbitrários
e
. O que se pede: provar as duas implicações (se são ortogonais então o produto escalar é zero; e se o produto escalar é zero então são ortogonais). A resolução seguirá mostrando cada implicação com cuidado e tratando o caso especial do vetor nulo.
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
- Produto escalar (algebraico, em coordenadas): se
e , então
Aqui cada
e
é a componente do vetor na
-ésima direção.
- Produto escalar (geométrico): o produto escalar também pode ser expresso pela magnitude (norma) dos vetores e pelo ângulo
entre eles:
onde
é o comprimento de
(norma) e
é o ângulo entre
e
, com
.
- Ortogonalidade: convencionamos que dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é
(ou seja, ). Observação importante: o vetor nulo tem produto escalar zero com qualquer vetor; tipicamente admite-se que é ortogonal a todo vetor (por convenção), embora o “ângulo” com o vetor nulo não seja bem definido.
Passo 3
Prova da implicação 1: se
e
são ortogonais então
.
- Se os vetores são ortogonais, por definição o ângulo entre eles é
. - Usando a fórmula geométrica do produto escalar:
- Substituindo
e lembrando que , obtemos
- Caso especial: se um dos vetores for
, então pela fórmula em coordenadas e, por convenção, esse caso é considerado ortogonal. Logo a implicação vale também quando um vetor é nulo.
Passo 4
Prova da implicação 2: se
então
e
são ortogonais (com cuidado no caso do vetor nulo).
- Começamos assumindo
. - Se
ou , então por convenção o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, então a conclusão segue. - Se nenhum dos vetores é nulo, então
e . Usando a forma geométrica do produto escalar e dividindo por (número positivo), obtemos
- Como o ângulo entre vetores é tomado no intervalo
, a única solução desse intervalo para é . Portanto o ângulo entre e é , isto é, eles são ortogonais.
Passo 5
Recapitulando e observações finais.
- Mostramos as duas direções: ortogonalidade (
) implica , e (com vetores não nulos) implica . - Tratamos também o caso do vetor nulo: ele tem produto escalar zero com qualquer vetor e é geralmente considerado ortogonal a todos eles por convenção.
- Portanto, a condição
é exatamente a condição que caracteriza ortogonalidade entre vetores.
Resposta
Dois vetores
e
são ortogonais se, e somente se,
.