Calcule o produto escalar dos vectores 3 a-2 b e a+2 b se os vectores a e b formam o ângulo alpha=2 pi3 e |a|=3 e |b|=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores 3 a - 2 b e a + 2 b. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar, especialmente como expandir produtos de vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles. Sabemos que o ângulo entre a e b é alpha = 2pi3, e os módulos desses vetores são |a| = 3 e |b| = 4.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto escalar (3 a - 2 b) cdot (a + 2 b) usando a distributividade do produto escalar. Isso significa que a gente distribui cada termo de um vetor multiplicando cada termo do outro vetor.
(3 a - 2 b) cdot (a + 2 b) = 3a cdot a + 3a cdot 2b - 2b cdot a - 2b cdot 2b

Passo 3

Agora, vamos simplificar os coeficientes:
= 3 (a cdot a) + 6 (a cdot b) - 2 (b cdot a) - 4 (b cdot b)
Lembrando que a cdot b = b cdot a, podemos simplificar ainda mais:
= 3 |a|^2 + 4 (a cdot b) - 4 |b|^2

Passo 4

Sabemos que |a| = 3 e |b| = 4, então vamos substituir esses valores:
= 3 (3)^2 + 4 (a cdot b) - 4 (4)^2
= 3 times 9 + 4 (a cdot b) - 4 times 16
= 27 + 4 (a cdot b) - 64

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de a cdot b. A fórmula do produto escalar que envolve o ângulo entre os vetores é:
a cdot b = |a| |b| cos(alpha)
Substituindo os valores que a gente tem:
a cdot b = 3 times 4 times cos(2pi3)
Sabemos que cos(2pi3) = -12, então:
a cdot b = 12 times (-12) = -6

Passo 6

Agora, substituímos a cdot b = -6 na expressão anterior:
27 + 4 (-6) - 64 = 27 - 24 - 64
= (27 - 24) - 64 = 3 - 64 = -61

Resposta

O produto escalar dos vetores 3 a - 2 b e a + 2 b é -61.

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