Calcule o produto escalar dos vectores
e
se os vectores
e
formam o ângulo
e
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores
e
. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar, especialmente como expandir produtos de vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles. Sabemos que o ângulo entre
e
é
, e os módulos desses vetores são
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto escalar
usando a distributividade do produto escalar. Isso significa que a gente distribui cada termo de um vetor multiplicando cada termo do outro vetor.
Passo 3
Agora, vamos simplificar os coeficientes:
Lembrando que
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Sabemos que
e
, então vamos substituir esses valores:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
. A fórmula do produto escalar que envolve o ângulo entre os vetores é:
Substituindo os valores que a gente tem:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão anterior:
Resposta
O produto escalar dos vetores
e
é -61.