Dados os vetores u=2 imath+3 jmath e v= -2 imath+4 jmath, determine:
c) O ângulo entre estes vetores;
Resp.: c) alpha=60,3^circ

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática sobre vetores! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os vetores u=2 imath+3 jmath e v=-2 imath+4 jmath. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo dos vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores a = a1 imath + a2 jmath e b = b1 imath + b2 jmath é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (2)(-2) + (3)(4) = -4 + 12 = 8

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. O módulo de um vetor a = a1 imath + a2 jmath é:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Calculando os módulos dos vetores u e v:
|u| = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
|v| = raiz(-2)^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo alpha entre eles:
cos(alpha) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(alpha) = 8raiz13 cdot raiz20 = 8raiz260
Simplificando raiz260:
raiz260 = raiz4 cdot 65 = 2raiz65
Então:
cos(alpha) = 82raiz65 = 4raiz65

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo alpha, usamos a função inversa do cosseno:
alpha = arccos(4raiz65)
Calculando esse valor, temos:
alpha approx 60,3^circ

Resposta

c) alpha = 60,3^circ

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