Calcule o produto misto u cdot(v times w) dos vetores
u=3 i-2 j-5 k, v=i+4 j-4 k, w=3 j+2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto misto de vetores! A questão pede para a gente calcular u cdot (v times w) com os vetores fornecidos:
u=3 i-2 j-5 k, v=i+4 j-4 k, w=3 j+2 k
Vamos precisar usar o produto vetorial e o produto escalar, que são operações básicas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
v times w = i & j & k v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3

Passo 3

Vamos montar a matriz determinante com os componentes dos vetores v e w:
v times w = i & j & k 1 & 4 & -4 0 & 3 & 2

Passo 4

Calculando o determinante:
v times w = i(4 cdot 2 - (-4) cdot 3) - j(1 cdot 2 - (-4) cdot 0) + k(1 cdot 3 - 4 cdot 0)
= i(8 + 12) - j(2 - 0) + k(3 - 0)
= 20i - 2j + 3k

Passo 5

Agora que temos v times w = 20i - 2j + 3k, vamos calcular o produto escalar com u:
u cdot (v times w) = (3i - 2j - 5k) cdot (20i - 2j + 3k)

Passo 6

O produto escalar é feito multiplicando os componentes correspondentes e somando:
u cdot (v times w) = 3 cdot 20 + (-2) cdot (-2) + (-5) cdot 3
= 60 + 4 - 15

Resposta

O produto misto é igual a 49.

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