Sejam u=(3,2,-1), v=(0,2,-3) e w=(1,4,0). Em cada parte, calcule o vetor indicado.
( u times v) times(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem três vetores: u=(3,2,-1), v=(0,2,-3) e w=(1,4,0). O que a gente precisa calcular é o vetor resultante de (u times v) times (v times w). Para isso, vamos usar a operação de produto vetorial, que combina dois vetores e gera um terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular u times v. O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = ( 2*(-3) - (-1)*2, (-1)*0 - 3*(-3), 3*2 - 2*0 ) = (-6 + 2, 0 + 9, 6 - 0) = (-4, 9, 6)

Passo 3

Agora, vamos calcular v times w. Usando a mesma fórmula:
v times w = ( 2*0 - (-3)*4, (-3)*1 - 0*0, 0*4 - 2*1 ) = (0 + 12, -3 - 0, 0 - 2) = (12, -3, -2)

Passo 4

Agora precisamos calcular o produto vetorial de (u times v) com (v times w), ou seja, (-4, 9, 6) times (12, -3, -2). Aplicando a fórmula novamente:
(-4, 9, 6) times (12, -3, -2) = ( 9*(-2) - 6*(-3), 6*12 - (-4)*(-2), (-4)*(-3) - 9*12 )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: 9*(-2) - 6*(-3) = -18 + 18 = 0
  • Segunda componente: 6*12 - (-4)*(-2) = 72 - 8 = 64
  • Terceira componente: (-4)*(-3) - 9*12 = 12 - 108 = -96
Então, o vetor resultante é (0, 64, -96).

Resposta

O vetor resultante de (u times v) times (v times w) é (0, 64, -96).

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