Calcule o produto misto \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) nos casos abaixo:
\vec{a}=(3,1,1), \vec{b}=(-1,-1,3) e \vec{c}=(4,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto \vec a\cdot(\vec b\times\vec c) onde \r \vec a=(3,1,1), \vec b=(-1,-1,3) e \vec c=(4,1,2). \r
Vamos usar as definições de produto vetorial para obter \vec b\times\vec c e depois produto escalar para \vec a\cdot(\vec b\times\vec c).

Passo 2

Para obter \vec b\times\vec c usamos o determinante de 3\times 3 com os versores:\r
\vec b \times \vec c = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -1 & -1 & 3 \\[4pt] 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl((-1)\cdot2 - 3\cdot1,\; -\bigl((-1)\cdot2 - 3\cdot4\bigr),\; (-1)\cdot1 - (-1)\cdot4\bigr) = (-5,14,3).]

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec a com o vetor obtido:\r
\vec a\cdot(\vec b\times\vec c) = (3,1,1)\cdot(-5,14,3) = 3\cdot(-5) + 1\cdot14 + 1\cdot3 = -15 + 14 + 3 = 2.

Resposta

2

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