(2.5 pontos) Explique por que o conjunto
\mathrm{S}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y-0=0, x-y+z=0, x+y+z=0\right\}
ésubespaço do \mathbb{R}^{3} usual.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
\mathrm{S}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0,\;x-y+z=0,\;x+y+z=0\}
é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^3 usual. O conteúdo aqui é o conceito de subespaço vetorial e o teste de fechamento (não‐vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a \mathrm{S}. De fato, substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em cada equação obtemos
0+0=0,\quad 0-0+0=0,\quad 0+0+0=0.
Logo, \mathbf{0}\in\mathrm{S}, mostrando que \mathrm{S} não é vazio.

Passo 3

Mostramos que \mathrm{S} é fechado sob soma. Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in\mathrm{S} e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in\mathrm{S}. Então
x_1+y_1=0,\;x_1-y_1+z_1=0,\;x_1+y_1+z_1=0,
x_2+y_2=0,\;x_2-y_2+z_2=0,\;x_2+y_2+z_2=0.
Para \mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2), somando as equações correspondentes:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=0,
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0,
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in\mathrm{S}.

Passo 4

Mostramos que \mathrm{S} é fechado sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in\mathrm{S}, isto é,
x+y=0,\quad x-y+z=0,\quad x+y+z=0.
Então para \alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z) vale
\alpha x+\alpha y=\alpha(x+y)=0,
\alpha x-\alpha y+\alpha z=\alpha(x-y+z)=0,
\alpha x+\alpha y+\alpha z=\alpha(x+y+z)=0.
Logo \alpha\mathbf{u}\in\mathrm{S}.

Resposta

\mathrm{S} satisfaz as três condições de subespaço (não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar) e, portanto, é subespaço de \mathbb{R}^3.

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