1. Calcule o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v}, sendo os vetores dados por \vec{u}=2 \vec{i}-\vec{j}+3 \vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial entre dois vetores. Os dados são (escrevo exatamente o que foi dado):
  • \vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}.
  • \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}.
A pergunta é: calcular \vec{u}\times\vec{v}. Vou listar claramente as informações relevantes:
  • Componentes de \vec{u}: coeficiente de \vec{i}, de \vec{j} e de \vec{k}.
  • Componentes de \vec{v}: coeficiente de \vec{i}, de \vec{j} e de \vec{k}.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculamos na prática? Rápida aula prática:
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
  • Em termos de componentes, se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então os componentes do produto vetorial são dados por
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2\bigr)\vec{i}-\bigl(u_1v_3-u_3v_1\bigr)\vec{j}+\bigl(u_1v_2-u_2v_1\bigr)\vec{k}.
  • Outra forma prática é usar o determinante formal
\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
que, ao expandir, leva exatamente à fórmula acima.
Aqui cada u_i e v_i é o i-ésimo componente dos vetores (por exemplo u_1 é o coeficiente de \vec{i} em \vec{u}).]

Passo 3

Extrair as componentes dos vetores fornecidos:
  • Da expressão \vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} segue que u_1=2, u_2=-1, u_3=3.
  • Da expressão \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k} segue que v_1=1, v_2=2, v_3=-1.
(Estas componentes foram obtidas diretamente do enunciado.)

Passo 4

Calcular cada componente do produto vetorial usando a fórmula do Passo 2, passo a passo e com contas claras.
Componente na direção de \vec{i}:
u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot(-1)-3\cdot 2 = 1-6 = -5.
Portanto o coeficiente que multiplica \vec{i} é -5.
Componente na direção de \vec{j} (atenção ao sinal negativo da fórmula):
u_1v_3-u_3v_1 = 2\cdot(-1)-3\cdot 1 = -2-3 = -5,
e a fórmula tem um sinal menos nesta componente, então o coeficiente que multiplica \vec{j} é
-\bigl(u_1v_3-u_3v_1\bigr) = -(-5) = 5.
Componente na direção de \vec{k}:
u_1v_2-u_2v_1 = 2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 4 - (-1) = 5.
Portanto o coeficiente que multiplica \vec{k} é 5.

Passo 5

Verificação rápida (propriedade importante): o produto vetorial deve ser perpendicular a cada um dos vetores. Verifico fazendo o produto escalar com \vec{u} e com \vec{v}. Para isso uso as componentes que encontrei nos Passos anteriores (coeficientes para \vec{i},\vec{j},\vec{k} são -5,\,5,\,5).
Produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = u_1(-5)+u_2(5)+u_3(5) = 2(-5)+(-1)(5)+3(5) = -10-5+15=0.
Produto escalar com \vec{v}:
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = v_1(-5)+v_2(5)+v_3(5) = 1(-5)+2(5)+(-1)(5) = -5+10-5=0.
Como ambos dão 0, a verificação confirma que o vetor obtido é perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}, como esperado. Isso aumenta a confiança no cálculo.

Resposta

-5\vec{i}+5\vec{j}+5\vec{k}

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