Seja
e
. Determine o produto escalar
e verifique se os vetores são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
. Pede-se:
- Calcular o produto escalar
. - Verificar se os vetores são ortogonais (ou seja, se formam ângulo reto).
Passo 2
Definição do produto escalar em
: para dois vetores
e
tem-se
Explicando: multiplica-se componente a componente (primeira com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira) e soma-se os resultados. O produto escalar é um número real. Ele também está ligado ao ângulo
entre os vetores pela fórmula
onde
é o comprimento (norma) do vetor
, dado por
.
Passo 3
Agora aplicamos a definição ao caso
e
. Calcula-se componente a componente:
Fazendo as multiplicações e somas:
Observação prática: cuide do sinal ao multiplicar
por
; dá
.
Passo 4
Critério de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Também pela fórmula envolvendo
,
implica
e assim
(desde que nenhum dos vetores seja o vetor zero). Verificamos que os comprimentos não são zero:
Como
, concluímos que os vetores não são ortogonais.
Passo 5
Resumo e incentivo: calculamos passo a passo o produto escalar e usamos o critério simples (produto escalar = 0) para checar ortogonalidade. Foi rápido — e agora você já tem o procedimento decorado para a prova: multiplicar componente a componente, somar, e verificar se o resultado é zero. Vai dar certo!
Resposta
Os vetores não são ortogonais.