Seja \vec{a}=(0,1,-2) e \vec{b}=(3,0,1). Determine o produto escalar \vec{a} \cdot \vec{b} e verifique se os vetores são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(0,1,-2) e \vec{b}=(3,0,1). Pede-se:
  • Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}.
  • Verificar se os vetores são ortogonais (ou seja, se formam ângulo reto).

Passo 2

Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) tem-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Explicando: multiplica-se componente a componente (primeira com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira) e soma-se os resultados. O produto escalar é um número real. Ele também está ligado ao ângulo \theta entre os vetores pela fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u}, dado por \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição ao caso \vec{a}=(0,1,-2) e \vec{b}=(3,0,1). Calcula-se componente a componente:
\vec{a}\cdot\vec{b}=(0)(3)+(1)(0)+(-2)(1).
Fazendo as multiplicações e somas:
\vec{a}\cdot\vec{b}=0+0-2=-2.
Observação prática: cuide do sinal ao multiplicar -2 por 1; dá -2.

Passo 4

Critério de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Também pela fórmula envolvendo \cos\theta, \vec{u}\cdot\vec{v}=0 implica \cos\theta=0 e assim \theta=90^\circ (desde que nenhum dos vetores seja o vetor zero). Verificamos que os comprimentos não são zero:
\|\vec{a}\|=\sqrt{0^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\neq 0,
\|\vec{b}\|=\sqrt{3^2+0^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\neq 0.
Como \vec{a}\cdot\vec{b}=-2\neq 0, concluímos que os vetores não são ortogonais.

Passo 5

Resumo e incentivo: calculamos passo a passo o produto escalar e usamos o critério simples (produto escalar = 0) para checar ortogonalidade. Foi rápido — e agora você já tem o procedimento decorado para a prova: multiplicar componente a componente, somar, e verificar se o resultado é zero. Vai dar certo!

Resposta

\vec{a}\cdot\vec{b}=-2
Os vetores não são ortogonais.

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