Calcule os produtos A B e B A para as seguintes matrizes A e B. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}6 & -4 \\\\ -3 & 2\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para calcular os produtos AB e BA para as matrizes dadas. As informações fornecidas são:
Antes de multiplicar, verificamos dimensões e lembramos a definição de multiplicação de matrizes. Ambas A e B são matrizes 2\times2, então tanto AB quanto BA estão bem definidos e resultarão em matrizes 2\times2.
Regra (fórmula): o elemento na linha i e coluna j do produto AB é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui A_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A e B_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de B. Em palavras: cada elemento do produto é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B.
Passo 3
Calculando os elementos de AB um a um (usando a regra acima):
Portanto, os quatro elementos de AB são (AB)_{11}=-6, (AB)_{12}=4, (AB)_{21}=0 e (AB)_{22}=0. Vou guardar esses resultados para montar a matriz final na seção de resposta.
Passo 4
Agora calculamos os elementos de BA (produto na ordem inversa), também um a um:
Portanto, os quatro elementos de BA são (BA)_{11}=2, (BA)_{12}=16, (BA)_{21}=-1 e (BA)_{22}=-8. Observação final: os produtos são diferentes, isto é, AB\neq BA, mostrando que multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa — lembre disso na prova.