Calcule os produtos A B e B A para as seguintes matrizes A e B.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}6 & -4 \\\\ -3 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular os produtos AB e BA para as matrizes dadas. As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}6 & -4 \\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix}.
As perguntas são: Calcular AB e calcular BA.]

Passo 2

Antes de multiplicar, verificamos dimensões e lembramos a definição de multiplicação de matrizes. Ambas A e B são matrizes 2\times2, então tanto AB quanto BA estão bem definidos e resultarão em matrizes 2\times2.
Regra (fórmula): o elemento na linha i e coluna j do produto AB é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui A_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A e B_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de B. Em palavras: cada elemento do produto é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B.

Passo 3

Calculando os elementos de AB um a um (usando a regra acima):
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=1\cdot6+4\cdot(-3)=6-12=-6,
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=1\cdot(-4)+4\cdot2=-4+8=4,
(AB)_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=1\cdot6+2\cdot(-3)=6-6=0,
(AB)_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=1\cdot(-4)+2\cdot2=-4+4=0.
Portanto, os quatro elementos de AB são (AB)_{11}=-6, (AB)_{12}=4, (AB)_{21}=0 e (AB)_{22}=0. Vou guardar esses resultados para montar a matriz final na seção de resposta.

Passo 4

Agora calculamos os elementos de BA (produto na ordem inversa), também um a um:
(BA)_{11}=B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21}=6\cdot1+(-4)\cdot1=6-4=2,
(BA)_{12}=B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22}=6\cdot4+(-4)\cdot2=24-8=16,
(BA)_{21}=B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=(-3)\cdot1+2\cdot1=-3+2=-1,
(BA)_{22}=B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}=(-3)\cdot4+2\cdot2=-12+4=-8.
Portanto, os quatro elementos de BA são (BA)_{11}=2, (BA)_{12}=16, (BA)_{21}=-1 e (BA)_{22}=-8. Observação final: os produtos são diferentes, isto é, AB\neq BA, mostrando que multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa — lembre disso na prova.

Resposta

AB=\begin{pmatrix}-6 & 4 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}2 & 16 \\[4pt] -1 & -8\end{pmatrix}]

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