Encontre a matriz \left[a_{i j}\right] de tamanho 4 \times 4 cujas entradas satisfazem
a_{i j}=j^{i-1},

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz de tamanho 4\times4 cujas entradas satisfazem a regra
a_{ij}=j^{\,i-1}.
Informações dadas e o que precisa ser feito:
  • A matriz tem dimensão 4\times4.
  • A entrada da linha i e coluna j é a_{ij}=j^{\,i-1}.
  • Os índices i e j variam implicitamente por linhas e colunas da matriz: devemos tomar i=1,2,3,4 e j=1,2,3,4.
  • Objetivo: calcular todas as entradas e escrever a matriz completa.

Passo 2

Interpretação dos índices e da expressão a_{ij}=j^{\,i-1}:
  • O índice i especifica a linha (primeira linha é i=1, segunda é i=2, etc.).
  • O índice j especifica a coluna (primeira coluna é j=1, segunda é j=2, etc.).
  • A fórmula diz: para cada posição (i,j) da matriz, elevamos o número da coluna j à potência i-1.
    Vou calcular linha por linha, ou seja, fixo i e vario j=1,2,3,4.

Passo 3

Regra importante sobre potências que vamos usar (muito útil na prova): para qualquer inteiro positivo j,
j^{0}=1.
Isto vem da propriedade das potências j^{a}/j^{a}=j^{a-a}=j^{0}=1 (quando j\neq0). Na prática, significa que toda a primeira linha, onde i-1=0, terá somente 1s.

Passo 4

Calcule a primeira linha ( i=1). Aqui i-1=0, então para j=1,2,3,4 temos:
a_{1j}=j^{\,0}=1.
Logo a primeira linha é (1,\,1,\,1,\,1).

Passo 5

Calcule a segunda linha ( i=2). Agora i-1=1, então a_{2j}=j^{\,1}=j. Para j=1,2,3,4 obtemos:
a_{21}=1,\quad a_{22}=2,\quad a_{23}=3,\quad a_{24}=4.
Portanto a segunda linha é (1,\,2,\,3,\,4).

Passo 6

Calcule a terceira linha ( i=3). Aqui i-1=2, então a_{3j}=j^{\,2} (os quadrados). Para j=1,2,3,4:
a_{31}=1^{2}=1,\quad a_{32}=2^{2}=4,\quad a_{33}=3^{2}=9,\quad a_{34}=4^{2}=16.
Portanto a terceira linha é (1,\,4,\,9,\,16).

Passo 7

Calcule a quarta linha ( i=4). Agora i-1=3, então a_{4j}=j^{\,3} (os cubos). Para j=1,2,3,4:
a_{41}=1^{3}=1,\quad a_{42}=2^{3}=8,\quad a_{43}=3^{3}=27,\quad a_{44}=4^{3}=64.
Portanto a quarta linha é (1,\,8,\,27,\,64).

Passo 8

Montagem final da matriz juntando as quatro linhas calculadas. Também vale notar uma forma alternativa de ver a matriz: cada coluna j é o vetor \bigl(1,\,j,\,j^{2},\,j^{3}\bigr)^{T}; isto ajuda a escrever direto se precisar generalizar.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 9 & 16\\[4pt] 1 & 8 & 27 & 64 \end{pmatrix}]

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