Encontre a matriz
de tamanho
cujas entradas satisfazem
,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz de tamanho
cujas entradas satisfazem a regra
Informações dadas e o que precisa ser feito:
- A matriz tem dimensão
. - A entrada da linha
e coluna é . - Os índices
e variam implicitamente por linhas e colunas da matriz: devemos tomar e . - Objetivo: calcular todas as entradas e escrever a matriz completa.
Passo 2
Interpretação dos índices e da expressão
:
- O índice
especifica a linha (primeira linha é , segunda é , etc.). - O índice
especifica a coluna (primeira coluna é , segunda é , etc.). - A fórmula diz: para cada posição
da matriz, elevamos o número da coluna à potência .
Vou calcular linha por linha, ou seja, fixoe vario .
Passo 3
Regra importante sobre potências que vamos usar (muito útil na prova): para qualquer inteiro positivo
,
Isto vem da propriedade das potências
(quando
). Na prática, significa que toda a primeira linha, onde
, terá somente
s.
Passo 4
Calcule a primeira linha (
). Aqui
, então para
temos:
Logo a primeira linha é
.
Passo 5
Calcule a segunda linha (
). Agora
, então
. Para
obtemos:
Portanto a segunda linha é
.
Passo 6
Calcule a terceira linha (
). Aqui
, então
(os quadrados). Para
:
Portanto a terceira linha é
.
Passo 7
Calcule a quarta linha (
). Agora
, então
(os cubos). Para
:
Portanto a quarta linha é
.
Passo 8
Montagem final da matriz juntando as quatro linhas calculadas. Também vale notar uma forma alternativa de ver a matriz: cada coluna
é o vetor
; isto ajuda a escrever direto se precisar generalizar.