Calcule os produtos A B e B A para as seguintes matrizes A e B. A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-8 & -4 \\\\ 9 & 5 \\\\ -3 & -2\end{array}\right].
Passo 1
O que o exercício pede e os dados que temos:\n
Pede para calcular os produtos matriciais A B e B A.\n
Anotei: A é 2\times 3 (2 linhas, 3 colunas) e B é 3\times 2 (3 linhas, 2 colunas). Isso é informação importante para saber se cada produto está definido.]
Passo 2
Regra básica (aulas rápidas e práticas): para multiplicar uma matriz X de dimensão m\times n por uma matriz Y de dimensão n\times p usamos a definição por produto escalar das linhas de X com as colunas de Y. O resultado tem dimensão m\times p. Em fórmula, o elemento da posição i,j do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde X_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de X e Y_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de Y.
Passo 3
Aplicando a regra às nossas matrizes: como A é 2\times 3 e B é 3\times 2, o produto A B está definido e terá dimensão 2\times 2. Já B A está definido porque B é 3\times 2 e A é 2\times 3; o produto B A terá dimensão 3\times 3.
Passo 4
Vou calcular A B entrando nos detalhes. Escrevo as colunas de B para ficar fácil de ver os produtos escalares: