Calcule os produtos A B e B A para as seguintes matrizes A e B.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-8 & -4 \\\\ 9 & 5 \\\\ -3 & -2\end{array}\right].

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos:\n
  • Pede para calcular os produtos matriciais A B e B A.\n
  • Matriz A fornecida:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\[4pt] 3 & 3 & 1\end{array}\right]
  • Matriz B fornecida:
B=\left[\begin{array}{rr}-8 & -4 \\[4pt] 9 & 5 \\[4pt] -3 & -2\end{array}\right]
  • Anotei: A é 2\times 3 (2 linhas, 3 colunas) e B é 3\times 2 (3 linhas, 2 colunas). Isso é informação importante para saber se cada produto está definido.]

Passo 2

Regra básica (aulas rápidas e práticas): para multiplicar uma matriz X de dimensão m\times n por uma matriz Y de dimensão n\times p usamos a definição por produto escalar das linhas de X com as colunas de Y. O resultado tem dimensão m\times p. Em fórmula, o elemento da posição i,j do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde X_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de X e Y_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de Y.

Passo 3

Aplicando a regra às nossas matrizes: como A é 2\times 3 e B é 3\times 2, o produto A B está definido e terá dimensão 2\times 2. Já B A está definido porque B é 3\times 2 e A é 2\times 3; o produto B A terá dimensão 3\times 3.

Passo 4

Vou calcular A B entrando nos detalhes. Escrevo as colunas de B para ficar fácil de ver os produtos escalares:
\text{col}_1(B)=\left[\begin{array}{r}-8\\[4pt]9\\[4pt]-3\end{array}\right],\qquad \text{col}_2(B)=\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]5\\[4pt]-2\end{array}\right].
As linhas de A são \text{row}_1(A) = [1\\ \\\ 2\\ \\\ 3] e \text{row}_2(A)=[3\\ \\\ 3\\ \\\ 1].]

Passo 5

Calculo detalhado do elemento (A B)_{11} (linha 1, coluna 1): é o produto escalar da \text{row}_1(A) com \text{col}_1(B).
(A B)_{11}=1\cdot(-8)+2\cdot 9+3\cdot(-3).
Faço as contas passo a passo:
1\cdot(-8)=-8,\quad 2\cdot 9=18,\quad 3\cdot(-3)=-9.
Somando:
-8+18-9=1.
Logo (A B)_{11}=1.

Passo 6

Calculo de (A B)_{12} (linha 1, coluna 2): produto escalar de \text{row}_1(A) com \text{col}_2(B).
(A B)_{12}=1\cdot(-4)+2\cdot 5+3\cdot(-2).
Contas:
1\cdot(-4)=-4,\quad 2\cdot 5=10,\quad 3\cdot(-2)=-6.
Somando:
-4+10-6=0.
Logo (A B)_{12}=0.

Passo 7

Calculo de (A B)_{21} (linha 2, coluna 1): produto escalar de \text{row}_2(A) com \text{col}_1(B).
(A B)_{21}=3\cdot(-8)+3\cdot 9+1\cdot(-3).
Contas:
3\cdot(-8)=-24,\quad 3\cdot 9=27,\quad 1\cdot(-3)=-3.
Somando:
-24+27-3=0.
Logo (A B)_{21}=0.

Passo 8

Calculo de (A B)_{22} (linha 2, coluna 2): produto escalar de \text{row}_2(A) com \text{col}_2(B).
(A B)_{22}=3\cdot(-4)+3\cdot 5+1\cdot(-2).
Contas:
3\cdot(-4)=-12,\quad 3\cdot 5=15,\quad 1\cdot(-2)=-2.
Somando:
-12+15-2=1.
Logo (A B)_{22}=1.

Passo 9

Juntando os elementos obtidos, o produto A B é a matriz 2\times 2
A B=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].
(Notou? É a matriz identidade de ordem 2. Isso pode ser útil para interpretar o resultado na prova.)]

Passo 10

Agora vou calcular B A. Para isso, escrevo as colunas de A (já que B tem 3 linhas e vamos fazer produto das linhas de B pelas colunas de A):
\text{col}_1(A)=\left[\begin{array}{r}1\\[4pt]3\end{array}\right],\qquad \text{col}_2(A)=\left[\begin{array}{r}2\\[4pt]3\end{array}\right],\qquad \text{col}_3(A)=\left[\begin{array}{r}3\\[4pt]1\end{array}\right].
As linhas de B são \text{row}_1(B)=[-8\\\ -4], \text{row}_2(B)=[9\\\ 5], \text{row}_3(B)=[-3\\\ -2].]

Passo 11

Calculo de (B A)_{11} (linha 1, coluna 1): produto escalar de \text{row}_1(B) com \text{col}_1(A).
(B A)_{11}=(-8)\cdot 1 + (-4)\cdot 3 = -8 -12 = -20.

Passo 12

Calculo de (B A)_{12} (linha 1, coluna 2): produto escalar de \text{row}_1(B) com \text{col}_2(A).
(B A)_{12}=(-8)\cdot 2 + (-4)\cdot 3 = -16 -12 = -28.

Passo 13

Calculo de (B A)_{13} (linha 1, coluna 3): produto escalar de \text{row}_1(B) com \text{col}_3(A).
(B A)_{13}=(-8)\cdot 3 + (-4)\cdot 1 = -24 -4 = -28.

Passo 14

Calculo de (B A)_{21} (linha 2, coluna 1): produto escalar de \text{row}_2(B) com \text{col}_1(A).
(B A)_{21}=9\cdot 1 + 5\cdot 3 = 9 +15 = 24.

Passo 15

Calculo de (B A)_{22} (linha 2, coluna 2): produto escalar de \text{row}_2(B) com \text{col}_2(A).
(B A)_{22}=9\cdot 2 + 5\cdot 3 = 18 +15 = 33.

Passo 16

Calculo de (B A)_{23} (linha 2, coluna 3): produto escalar de \text{row}_2(B) com \text{col}_3(A).
(B A)_{23}=9\cdot 3 + 5\cdot 1 = 27 +5 = 32.

Passo 17

Calculo de (B A)_{31} (linha 3, coluna 1): produto escalar de \text{row}_3(B) com \text{col}_1(A).
(B A)_{31}=(-3)\cdot 1 + (-2)\cdot 3 = -3 -6 = -9.

Passo 18

Calculo de (B A)_{32} (linha 3, coluna 2): produto escalar de \text{row}_3(B) com \text{col}_2(A).
(B A)_{32}=(-3)\cdot 2 + (-2)\cdot 3 = -6 -6 = -12.

Passo 19

Calculo de (B A)_{33} (linha 3, coluna 3): produto escalar de \text{row}_3(B) com \text{col}_3(A).
(B A)_{33}=(-3)\cdot 3 + (-2)\cdot 1 = -9 -2 = -11.

Passo 20

Juntando todos os elementos calculados, obtemos B A como a matriz 3\times 3
B A=\left[\begin{array}{rrr}-20 & -28 & -28 \\[4pt] 24 & 33 & 32 \\[4pt] -9 & -12 & -11\end{array}\right].]

Resposta

A B=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]
B A=\left[\begin{array}{rrr}-20 & -28 & -28 \\[4pt] 24 & 33 & 32 \\[4pt] -9 & -12 & -11\end{array}\right]

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