Seja p(x)=-5-18 x-16 x^{2} \mathrm{e}
\beta=\left\{1+3 x+x^{2}, \quad 2+8 x+8 x^{2}, \quad-1-4 x-6 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;p(x)=-5-18x-16x^{2}\; e a base \beta=\{\,1+3x+x^{2},\;2+8x+8x^{2},\;-1-4x-6x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) como as coordenadas de p na base \beta, a pergunta é: qual é o valor de c?

Passo 2

Significado prático: dizer que [p]_{\beta}=(a,b,c) significa que p pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base com coeficientes a,b,c. Ou seja, existe
p(x)=a\bigl(1+3x+x^{2}\bigr)+b\bigl(2+8x+8x^{2}\bigr)+c\bigl(-1-4x-6x^{2}\bigr).
Aqui a,b,c são números reais que queremos encontrar. Vou agora transformar essa igualdade em um sistema para resolver c.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear e agrupar os coeficientes de 1, x e x^{2}. Expandindo a expressão do passo anterior:
a(1+3x+x^{2})+b(2+8x+8x^{2})+c(-1-4x-6x^{2}).
Agrupando termos por potências de x (constante, termo em x, termo em x^{2}) obtemos um polinômio cujos coeficientes devem igualar os de p(x)=-5-18x-16x^{2}. Isso gera o sistema linear
\begin{cases} a + 2b - c = -5,\\[6pt] 3a + 8b -4c = -18,\\[6pt] a + 8b -6c = -16. \end{cases}]

Passo 4

Vou eliminar variáveis para achar c. Primeiro subtraio a primeira equação da terceira para eliminar a:
\bigl(a+8b-6c\bigr)-\bigl(a+2b-c\bigr)= -16-(-5).
No lado esquerdo a cancela e sobra 6b-5c. No direito temos -11. Logo obtemos a equação
6b-5c=-11. \tag{A}

Passo 5

Agora obtenho outra equação simples eliminando a de forma diferente: subtraio 3 vezes a primeira equação da segunda:
\bigl(3a+8b-4c\bigr)-3\bigl(a+2b-c\bigr)= -18-3(-5).
No lado esquerdo 3a-3a cancela e sobra 2b-c. No direito -18+15=-3. Assim:
2b-c=-3. \tag{B}

Passo 6

Resolvo a equação (B) para b em função de c:
2b-c=-3 \;\Longrightarrow\; 2b = c-3 \;\Longrightarrow\; b=\frac{c-3}{2}.

Passo 7

Substituo b=\dfrac{c-3}{2} na equação (A):
6\left(\frac{c-3}{2}\right)-5c=-11.
Calculo passo a passo:
6\cdot\frac{c-3}{2}=3(c-3)=3c-9,
então
3c-9-5c=-11 \;\Longrightarrow\; -2c-9=-11.
Isolando c:
-2c = -11+9 = -2 \;\Longrightarrow\; c=1.

Passo 8

(se quiser conferir rápido: com c=1 temos b=(1-3)/2=-1. Substituindo a+2b-c=-5 a+2(-1)-1=-5\Rightarrow a-3=-5\Rightarrow a=-2. Esses a,b,c satisfazem as outras equações, logo c=1 está correto.)

Resposta

c=1

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