Seja p(x)=-5-18 x-16 x^{2} \mathrm{e} \beta=\left\{1+3 x+x^{2}, \quad 2+8 x+8 x^{2}, \quad-1-4 x-6 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio \;p(x)=-5-18x-16x^{2}\; e a base \beta=\{\,1+3x+x^{2},\;2+8x+8x^{2},\;-1-4x-6x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) como as coordenadas de p na base \beta, a pergunta é: qual é o valor de c?
Passo 2
Significado prático: dizer que [p]_{\beta}=(a,b,c) significa que p pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base com coeficientes a,b,c. Ou seja, existe
Aqui a,b,c são números reais que queremos encontrar. Vou agora transformar essa igualdade em um sistema para resolver c.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear e agrupar os coeficientes de 1, x e x^{2}. Expandindo a expressão do passo anterior:
a(1+3x+x^{2})+b(2+8x+8x^{2})+c(-1-4x-6x^{2}).
Agrupando termos por potências de x (constante, termo em x, termo em x^{2}) obtemos um polinômio cujos coeficientes devem igualar os de p(x)=-5-18x-16x^{2}. Isso gera o sistema linear
\begin{cases} a + 2b - c = -5,\\[6pt] 3a + 8b -4c = -18,\\[6pt] a + 8b -6c = -16. \end{cases}]
Passo 4
Vou eliminar variáveis para achar c. Primeiro subtraio a primeira equação da terceira para eliminar a:
\bigl(a+8b-6c\bigr)-\bigl(a+2b-c\bigr)= -16-(-5).
No lado esquerdo a cancela e sobra 6b-5c. No direito temos -11. Logo obtemos a equação
6b-5c=-11. \tag{A}
Passo 5
Agora obtenho outra equação simples eliminando a de forma diferente: subtraio 3 vezes a primeira equação da segunda:
(se quiser conferir rápido: com c=1 temos b=(1-3)/2=-1. Substituindo a+2b-c=-5 dá a+2(-1)-1=-5\Rightarrow a-3=-5\Rightarrow a=-2. Esses a,b,c satisfazem as outras equações, logo c=1 está correto.)