U=(x, y, z) in R^3: x-y=0
a) Calcule a projeç̧ão ortogonal de (1,0,0) sobre U;

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
U = (x,y,z)inR^3: x - y = 0
e pede a projeção ortogonal de v=(1,0,0) em U. O conteúdo envolvido é projeção de vetores em subespaços via decomposição em complemento ortogonal.

Passo 2

Identificamos um vetor normal a U. Como U é dado pela equação x-y=0, um normal é
n = (1,-1,0)
Então o complemento ortogonal é U^perp = spann.

Passo 3

A projeção ortogonal de v em U é
projU(v) ;=; v ;-;projspann(v) ;=; v ;-;lang<= v,nrang<=lang<= n,nrang<=,n
Aqui lang<= v,nrang<= = (1,0,0)cdot(1,-1,0)=1 e lang<= n,nrang<==1^2+(-1)^2+0^2=2, logo
lang<= v,nrang<=lang<= n,nrang<=n = 12,(1,-1,0) = l(tfrac12,-tfrac12,0r)

Passo 4

Subtraindo do vetor original, temos
projU(v) = (1,0,0);-;l(tfrac12,-tfrac12,0r) = l(1-tfrac12,;0+tfrac12,;0r) = l(tfrac12,tfrac12,0r)

Resposta

A projeção ortogonal de (1,0,0) sobre U é
l(tfrac12,tfrac12,0r)

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