lang<= p(t), q(t)rang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)
Considere ainda o subespaço de P2
U=p(t) in P2: p(0)=0
a) Calcule a projecção ortogonal do polinómio 1+t sobre U;

Passo 1

Estamos em P2 com o produto interno
lang<= p,qrang<= = p(-1),q(-1) + p(0),q(0) + p(1),q(1)
e o subespaço
U = lp(t)in P2 : p(0)=0r
Queremos a projeção ortogonal de f(t)=1+t sobre U. Para isso, buscamos uin U tal que f-u seja ortogonal a todo vin U.

Passo 2

Uma base conveniente de U é t,;t^2, pois qualquer uin U satisfaz u(0)=0 e pode ser escrito como
u(t)=alpha,t + beta,t^2

Passo 3

A condição de ortogonalidade exige
lang<= f-u,;trang<= = 0 e lang<= f-u,;t^2rang<= = 0
Vamos calcular f(t)-u(t)=1+t -(alpha t + beta t^2)=1 + (1-alpha),t - beta,t^2.

Passo 4

Calculamos lang<= f-u,;trang<=:
(f-u)(-1)cdot(-1) + (f-u)(0)cdot0 + (f-u)(1)cdot1 =0
Agora,
(f-u)(-1)=alpha - beta, (f-u)(0)=1, (f-u)(1)=2-alpha-beta
Logo
(alpha-beta)(-1) + 0 + (2-alpha-beta)(1) = -alpha+beta +2-alpha-beta = -2alpha +2 =0
que dá
alpha =1

Passo 5

Agora lang<= f-u,;t^2rang<==0:
(f-u)(-1)cdot1 + (f-u)(0)cdot0 + (f-u)(1)cdot1 =0
isto é,
(alpha-beta) + (2-alpha-beta) =2 -2beta =0
portanto
beta =1

Passo 6

Encontramos alpha=1 e beta=1. Logo a projeção de 1+t sobre U é
u(t) = 1cdot t + 1cdot t^2 = t + t^2

Resposta

A projeção de 1+t em U é
boxedt + t^2

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