lang<= p(t), q(t)rang<==[lll a0 & a1 & a2 ][ccc 2 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 2 ][l b0 b1 b2 ]
com p(t)=a0+a1 t+a2 t^2 e q(t)=b0+b1 t+b2 t^2.
a) Calcule |p(t)| para um qualquer polinómio p(t) in P2;

Passo 1

O enunciado define um produto interno em P2 pelo vetor de coeficientes
v = a0 & a1 & a2
e a matriz
M = 2 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 2 ,
de modo que
lang<= p,prang<= = v,M,v^T
Queremos calcular a norma |p| de um polinômio genérico p(t)=a0+a1t+a2t^2.

Passo 2

Pela definição de norma induzida pelo produto interno, temos
|p| = raizlang<= p,prang<=
Logo basta computar lang<= p,prang<= = v,M,v^T.

Passo 3

Primeiro calculemos o produto w = v,M:
w = a0 & a1 & a2 2 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 2 = 2a0 - a1 + a2,; -a0 + a1 - a2,; a0 - a1 +2a2
Em seguida,
lang<= p,prang<= = w,v^T = a0(2a0 - a1 + a2) + a1(-a0 + a1 - a2) + a2(a0 - a1 +2a2)

Passo 4

Expandindo e agrupando termos:
lang<= p,prang<= &=2a0^2 -a0a1 +a0a2 -a0a1 +a1^2 -a1a2 +a0a2 -a1a2 +2a2^2 &=2a0^2 +a1^2 +2a2^2 -2a0a1 +2a0a2 -2a1a2
Portanto a norma é
|p| = raiz2a0^2 + a1^2 + 2a2^2 - 2a0a1 + 2a0a2 - 2a1a2

Resposta

boxed|p| = raiz2a0^2 + a1^2 + 2a2^2 - 2a0a1 + 2a0a2 - 2a1a2

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