Calcule a projeção ortogonal de $\vec{u}=(3,4)$ sobre o vetor $\vec{v}=(1,1)$ e determine o comprimento dessa projeção.

O enunciado pede a projeção ortogonal de

\vec u=(3,4)

sobre

\vec v=(1,1)

e o comprimento dessa projeção.
Conteúdo: uso de produto escalar, norma ao quadrado e fórmula da projeção ortogonal

\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u = \frac{\vec u\cdot \vec v}{\|\vec v\|^2}\,\vec v.

Calcular o produto escalar

\vec u\cdot \vec v

\vec u\cdot \vec v = 3\cdot 1 + 4\cdot 1 = 7.

Calcular a norma ao quadrado de

\vec v

\|\vec v\|^2 = 1^2 + 1^2 = 2.

Substituir na fórmula da projeção:

\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u = \frac{7}{2}\,\vec v = \frac{7}{2}\,(1,1) = \bigl(\tfrac{7}{2},\,\tfrac{7}{2}\bigr).

Determinar o comprimento da projeção, ou seja, a norma de

\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u

\bigl\|\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u\bigr\| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{2\cdot\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^2} = \frac{7}{2}\sqrt{2} = \frac{7\sqrt2}{2}.

A projeção ortogonal é

\bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{7}{2}\bigr)

.
O comprimento dessa projeção é

\tfrac{7\sqrt2}{2}

Calcule a projeção ortogonal de \vec{u}=(3,4) sobre o vetor \vec{v}=(1,1) e determine o comprimento dessa projeção.