Encontre um vetor não nulo \vec{w} ortogonal simultaneamente a \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}= (2,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{w}\neq\vec{0} em \mathbb{R}^3 ortogonal simultaneamente a \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(2,-1,0). O conteúdo aqui é usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} gera um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. Portanto, basta calcular \vec{u}\times\vec{v}.
\vec{u}\times\vec{v} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = 2\cdot0 - (-1)\cdot(-1) = -1,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = -\bigl(1\cdot0 - (-1)\cdot2\bigr) = -2,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = 1\cdot(-1) - 2\cdot2 = -5.
Logo, \vec{u}\times\vec{v}=(-1,-2,-5).

Passo 4

Verificamos \vec{u}\cdot(-1,-2,-5)= -1 -4 +5 = 0
e \vec{v}\cdot(-1,-2,-5)= -2 +2 +0 = 0,
confirmando que esse vetor é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Como qualquer múltiplo escalar não nulo também serve, podemos escolher \vec{w}=(1,2,5).

Resposta

\vec{w}=(1,2,5)

Exercícios relacionados