Encontre um vetor não nulo \vec{w} ortogonal simultaneamente a \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}= (2,-1,0).
Passo 1
O enunciado pede um vetor \vec{w}\neq\vec{0} em \mathbb{R}^3 ortogonal simultaneamente a \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(2,-1,0). O conteúdo aqui é usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a ambos.
Passo 2
Em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} gera um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. Portanto, basta calcular \vec{u}\times\vec{v}.
Verificamos \vec{u}\cdot(-1,-2,-5)= -1 -4 +5 = 0
e \vec{v}\cdot(-1,-2,-5)= -2 +2 +0 = 0,
confirmando que esse vetor é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Como qualquer múltiplo escalar não nulo também serve, podemos escolher \vec{w}=(1,2,5).