Seja $\vec{u}=(k, 1,-1)$ e $\vec{v}=(2,-1,1)$ . Determine o valor de $k$ para que $\vec{u}$ seja ortogonal a $\vec{v}$ .

O enunciado dá os vetores

\vec{u}=(k,1,-1)

\vec{v}=(2,-1,1)

e pede o valor de

k

tal que

\vec{u}

seja ortogonal a

\vec{v}

. O conteúdo necessário é o produto escalar em

\mathbb{R}^3

e a condição de ortogonalidade.

Do produto escalar em

\mathbb{R}^3

, temos

\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Dois vetores são ortogonais se, e somente se,

\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Substituindo as componentes:

\vec{u}\cdot\vec{v} = k\cdot 2 \;+\;1\cdot(-1)\;+\;(-1)\cdot 1 =2k-1-1 =2k-2.

Impondo

\vec{u}\cdot\vec{v}=0

, temos

2k-2=0 \quad\Longrightarrow\quad 2k=2 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

k=1

Seja \vec{u}=(k, 1,-1) e \vec{v}=(2,-1,1). Determine o valor de k para que \vec{u} seja ortogonal a \vec{v}.