Calcule a projeção ortogonal do vetor u=(2,3,4) sobre o vetor v=(1,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de u=(2,3,4) sobre v=(1,-1,0). O conteúdo envolvido é produto escalar em R^3 e projeção de vetor, e vamos usar a fórmula
projvu ;=;ucdot vvcdot v;v

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdot v.
ucdot v = 2cdot 1 + 3cdot(-1) + 4cdot 0 = 2 - 3 + 0 = -1

Passo 3

Calcular vcdot v, que é o quadrado da norma de v.
vcdot v = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 4

Obter o coeficiente da projeção:
alpha = ucdot vvcdot v = -12

Passo 5

Multiplicar alpha pelo vetor v:
projvu = alpha,v = -12,(1,-1,0) = l(-tfrac12,;tfrac12,;0r)

Resposta

l(-tfrac12,tfrac12,0r)

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