Estabeleça o seguinte critério para divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é um múltiplo de 9 .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o critério de divisibilidade por 9, mostrando que um número inteiro em base decimal é congruente à soma de seus dígitos módulo 9. Para isso vamos usar noções de aritmética modular, em particular que
10 equiv 1 pmod9

Passo 2

Seja um número inteiro não negativo em base decimal com dígitos ak,ak-1,dots,a1,a0. Podemos escrevê-lo como
n = ak,10^k + ak-1,10^k-1 + cdots + a1,10 + a0,
onde cada aiin0,1,dots,9.

Passo 3

Da congruência 10equiv1pmod9 segue, para todo i>=0,
10^i equiv 1^i = 1 pmod9
Substituindo em n, temos
n = sumi=0^k ai,10^i equiv sumi=0^k aicdot1 = sumi=0^k ai pmod9

Passo 4

A congruência
n equiv sumi=0^k ai pmod9
significa que 9 divide n se, e somente se, 9 divide sumi=0^k ai. Ou seja, n é divisível por 9 exatamente quando a soma de seus dígitos é múltipla de 9.

Resposta

Um número inteiro é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos for múltipla de 9.

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