1. Calcule a projeção de v=(2,1,1) sobre u=(1,1,0) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a projeção de v=(2,1,1) sobre u=(1,1,0) em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é projeção ortogonal de vetor, que usa produto escalar e norma de vetor.

Passo 2

Calculamos o produto escalar \langle v,u\rangle, que reúne componente a componente e soma:
\langle v,u\rangle = 2\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 3

Passo 3

Calculamos a norma ao quadrado de u, ou seja \langle u,u\rangle:
\langle u,u\rangle = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2

Passo 4

O coeficiente escalar da projeção é dado por
\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle} = \frac{3}{2}

Passo 5

Multiplicando esse coeficiente pelo vetor u, obtemos a projeção:
\mathrm{proj}_{u}(v) = \frac{3}{2}\,(1,1,0) = \left(\frac{3}{2},\,\frac{3}{2},\,0\right)

Resposta

\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)

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