Calcule
(1 pt). \lim _{x \rightarrow 1}\left(2 x^{2}+x-1\right) \cos \left(\frac{1}{x+1}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1}\bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é o produto de duas funções: f(x)=2x^{2}+x-1 e g(x)=\cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right).
  • O ponto de interesse é x=1.

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia-chave (mini-aula): regra de limites para soma, produto e composição.
  • Se \lim_{x\to a} u(x)=U e \lim_{x\to a} v(x)=V existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} \bigl(u(x)+v(x)\bigr)=U+V, \qquad \lim_{x\to a} \bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)=U\cdot V.
  • Se h é contínua em U e \lim_{x\to a} u(x)=U, então \lim_{x\to a} h\bigl(u(x)\bigr)=h(U).
    Essas propriedades nos permitem avaliar limites por substituição quando as funções envolvidas são contínuas no ponto.

Passo 3

Analiso a primeira função f(x)=2x^{2}+x-1.
Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, portanto o limite é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to 1} \bigl(2x^{2}+x-1\bigr)=2\cdot 1^{2}+1-1=2.
Mostrei a conta passo a passo: 2\cdot 1^{2}=2, somando +1 e subtraindo 1 volta para 2.

Passo 4

Analiso a segunda função g(x)=\cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right).
Primeiro, a função h(x)=\dfrac{1}{x+1} é contínua em x=1 porque o denominador x+1 não é zero em x=1. Logo
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
A função \cos é contínua em todo ponto real, portanto pela regra de composição
\lim_{x\to 1}\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)=\cos\!\left(\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}\right)=\cos\!\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 5

Agora uso a regra do produto de limites: como os limites das duas funções existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim
\lim_{x\to 1}\bigl(2x^{2}+x-1\bigr)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right) = \left(\lim_{x\to 1} (2x^{2}+x-1)\right)\cdot\left(\lim_{x\to 1}\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\right).
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos
2\cdot \cos\!\left(\frac{1}{2}\right).

Resposta

2\cos\!\left(\dfrac{1}{2}\right)

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