\begin{aligned} &\text{Função a integrar:}\quad f(x,y)=y^{2}\cos(x)+y,\\\ &\text{Intervalo em }x:\quad 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\ &\text{Intervalo em }y:\quad -3\le y\le 0,\\\ &\text{Região }R\text{ é um retângulo (produto de intervalos).} \end{aligned}
Passo 2
Motivação e ferramenta que usaremos: a função f(x,y)=y^{2}\cos(x)+y é contínua em todo o retângulo R (soma de funções contínuas), portanto podemos aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa integral iterada. O Teorema de Fubini (em palavras simples) diz que, em uma região tipo produto e para função contínua,
ou trocando a ordem das integrais. Aqui é conveniente integrar primeiro em x (porque aparece \cos(x)) e depois em y. Vou desenvolver isso passo a passo.
Passo 3
Usamos linearidade da integral para escrever a integral dupla como soma de duas integrais:
Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número (pode ser negativo dependendo de \pi). Numericamente, \tfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785, então 1-\tfrac{\pi}{4}>0, logo o resultado é positivo, o que faz sentido dado que o termo y^{2}\cos(x) contribui positivamente e o termo linear em y contribui negativamente mas menos no total — a conta acima já refletiu isso corretamente.