Calcule:
\iint_{R}\left(y^{2} \cos (x)+y\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq \pi / 2 \mathrm{e}-3 \leq y \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(y^{2}\cos(x)+y\right)\,dA
onde a região R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2}\\ \text{e}\\\ -3\le y\le 0\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Função a integrar:}\quad f(x,y)=y^{2}\cos(x)+y,\\\ &\text{Intervalo em }x:\quad 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\ &\text{Intervalo em }y:\quad -3\le y\le 0,\\\ &\text{Região }R\text{ é um retângulo (produto de intervalos).} \end{aligned}çããéâ

Passo 2

Motivação e ferramenta que usaremos: a função f(x,y)=y^{2}\cos(x)+y é contínua em todo o retângulo R (soma de funções contínuas), portanto podemos aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa integral iterada. O Teorema de Fubini (em palavras simples) diz que, em uma região tipo produto e para função contínua,
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=c}^{d} f(x,y)\,dx\right)dy
ou trocando a ordem das integrais. Aqui é conveniente integrar primeiro em x (porque aparece \cos(x)) e depois em y. Vou desenvolver isso passo a passo.

Passo 3

Usamos linearidade da integral para escrever a integral dupla como soma de duas integrais:
\iint_{R}\big(y^{2}\cos(x)+y\big)\,dA = \iint_{R} y^{2}\cos(x)\,dA \;+\; \iint_{R} y\,dA.
Como R é o produto dos intervalos x\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e y\in[-3,0], aplicando Fubini obtemos a integral iterada
\int_{y=-3}^{0}\left(\int_{x=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(y^{2}\cos(x)+y\big)\,dx\right)dy.

Passo 4

Calcule a integral interna em x:
Dentro da integral em x, y é tratada como constante. Usamos as primitivas básicas:
\int \cos(x)\,dx=\sin(x),\qquad \int 1\,dx = x.
Assim,
\int_{x=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(y^{2}\cos(x)+y\big)\,dx = y^{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx \;+\; y\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dx.
Agora calculamos cada uma:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx = \sin\!\big(x\big)\Big|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-\sin(0)=1-0=1,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dx = x\Big|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\pi}{2}-0=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto a integral interna fica
y^{2}\cdot 1 \;+\; y\cdot \tfrac{\pi}{2} = y^{2}+\tfrac{\pi}{2}y.

Passo 5

Agora a integral dupla transformou-se numa integral simples em y:
\int_{y=-3}^{0}\left(y^{2}+\tfrac{\pi}{2}y\right)dy.
Vamos integrar termo a termo. As primitivas são:
\int y^{2}\,dy = \tfrac{y^{3}}{3},\qquad \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}.
Logo
\int\left(y^{2}+\tfrac{\pi}{2}y\right)dy = \tfrac{y^{3}}{3} + \tfrac{\pi}{2}\cdot \tfrac{y^{2}}{2} = \tfrac{y^{3}}{3} + \tfrac{\pi}{4}y^{2}.

Passo 6

Avalie a primitiva entre os limites y=-3 e y=0:
Primeiro no extremo superior y=0:
\tfrac{0^{3}}{3} + \tfrac{\pi}{4}\cdot 0^{2} = 0.
Depois no extremo inferior y=-3:
\tfrac{(-3)^{3}}{3} + \tfrac{\pi}{4}(-3)^{2} = \tfrac{-27}{3} + \tfrac{\pi}{4}\cdot 9 = -9 + \tfrac{9\pi}{4}.
A integral definida é a diferença valor em superior menos valor em inferior:
0 -\big(-9 + \tfrac{9\pi}{4}\big) = 9 - \tfrac{9\pi}{4}.
Fatorando 9 obtemos uma forma mais compacta:
9\left(1-\tfrac{\pi}{4}\right).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número (pode ser negativo dependendo de \pi). Numericamente, \tfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785, então 1-\tfrac{\pi}{4}>0, logo o resultado é positivo, o que faz sentido dado que o termo y^{2}\cos(x) contribui positivamente e o termo linear em y contribui negativamente mas menos no total — a conta acima já refletiu isso corretamente.

Resposta

\;9\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)

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