Calcule:
\iint_{R}\left(\frac{\ln (y)}{x y}\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x \leq 3\right. e \left.1 \leq y \leq 5\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(\frac{\ln(y)}{x\,y}\right)\,dA
onde a região R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 3,\;1\le y\le 5\}.
Informações relevantes fornecidas:
  1. O integrando é \dfrac{\ln(y)}{x\,y}.
  2. O domínio R é o retângulo com x variando de 1 até 3 e y variando de 1 até 5.
  3. A integral dupla deve ser avaliada sobre todo o retângulo R.

Passo 2

Interpretação e estratégia (sem cálculos ainda).
Para funções definidas em retângulos, podemos usar integrais iteradas (teorema de Fubini): a integral dupla sobre R pode ser escrita como integral iterada em qualquer ordem. Aqui o integrando pode ser reescrito como produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y. Note que
\frac{\ln(y)}{x\,y}=\left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{\ln(y)}{y}\right).
Quando o integrando é produto f(x)\,g(y) e o domínio é um retângulo, a integral dupla separa em produto de integrais simples:
\iint_{R} f(x)g(y)\,dA = \left(\int_{x=a}^{b} f(x)\,dx\right)\left(\int_{y=c}^{d} g(y)\,dy\right),
desde que as condições de integrabilidade (aqui satisfeitas, pois a função é contínua no retângulo dado) sejam atendidas. Então aplicaremos essa separação.

Passo 3

Escrever a integral como produto de integrais simples.
Usando a separação observada:
\iint_{R}\frac{\ln(y)}{x\,y}\,dA = \left(\int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,dx\right) \left(\int_{1}^{5}\frac{\ln(y)}{y}\,dy\right).
Agora calculamos cada uma dessas integrais simples de forma didática.

Passo 4

Cálculo da integral em x:
I_x=\int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,dx.
Lembrete: uma primitiva de \dfrac{1}{x} (para x>0) é \ln(x), porque a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}. Portanto,
I_x=\left.\ln(x)\right|_{1}^{3}=\ln(3)-\ln(1).
Como \ln(1)=0, segue que
I_x=\ln(3).

Passo 5

Cálculo da integral em y:
I_y=\int_{1}^{5}\frac{\ln(y)}{y}\,dy.
Técnica: substituição. Definimos a nova variável
u=\ln(y).
Então a derivada é du=\dfrac{1}{y}\,dy, ou seja dy/y=du. Quando y varia de 1 a 5, u varia de \ln(1)=0 a \ln(5). Substituindo na integral,
I_y=\int_{u=0}^{u=\ln(5)} u\,du.
Agora integramos u: uma primitiva de u é \dfrac{u^{2}}{2}. Assim
I_y=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{\ln(5)}=\frac{(\ln(5))^{2}}{2}-0=\frac{(\ln(5))^{2}}{2}.

Passo 6

Combinar os resultados (forma simbólica).
A integral dupla é o produto I_x\cdot I_y. Então, simbolicamente,
\iint_{R}\frac{\ln(y)}{x\,y}\,dA = \ln(3)\cdot\frac{(\ln(5))^{2}}{2}.
Essa é a forma exata e simplificada do valor da integral.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,\ln(3)\,(\ln(5))^{2}

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