1 Considere o sólido W limitado pelas superfícies: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) e z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \quad (semi esfera). Determine o volume de W.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies que limitam um sólido W e pede o volume de W. Informações fornecidas:
  • Superfície 1 (cone): z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Superfície 2 (semi-esfera): z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
  • O sólido W é a região situada entre essas duas superfícies (isto é, acima do cone e abaixo da semi-esfera).
    O que é pedido: determinar o volume de W em função de a.

Passo 2

Escolha das coordenadas e por que elas facilitam: como as equações envolvem x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) definidas por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
Na mudança para coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde o fator r é o jacobiano da transformação (ele aparece porque áreas em coordenadas polares crescem com r). Vou usar isso para escrever a integral tripla que dá o volume.

Passo 3

Determinar a curva de interseção entre as superfícies (é importante para os limites de integração). Igualando as duas superfícies:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
Elevando ao quadrado:
x^{2}+y^{2}=a^{2}-x^{2}-y^{2}.
Reagrupando:
2(x^{2}+y^{2})=a^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{2}.
Em coordenadas cilíndricas isso é
r^{2}=\frac{a^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{a}{\sqrt{2}}.
No ponto de interseção o valor de z é z=r=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Determinar os limites de integração:
  • \theta percorre toda a volta: 0\le\theta\le2\pi (simetria circular).
  • r vai do eixo até a curva de interseção: 0\le r\le \dfrac{a}{\sqrt{2}}.
  • Para cada (r,\theta) fixo, z varia do cone até a semi-esfera, isto é
r \le z \le \sqrt{a^{2}-r^{2}}.

Passo 5

Escrever a integral do volume em coordenadas cilíndricas:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}}\int_{z=r}^{z=\sqrt{a^{2}-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando primeiro em z:
\int_{z=r}^{\sqrt{a^{2}-r^{2}}} r\,dz = r\Bigl(\sqrt{a^{2}-r^{2}}-r\Bigr).
Portanto
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} r\bigl(\sqrt{a^{2}-r^{2}}-r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar e calcular as integrais em r. Primeiro tirar o fator angular:
V=2\pi\int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}}\Bigl(r\sqrt{a^{2}-r^{2}}-r^{2}\Bigr)\,dr.
Escrevo como diferença de duas integrais:
I_{1}=\int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr,\qquad I_{2}=\int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} r^{2}\,dr,
então V=2\pi(I_{1}-I_{2}).
Calcular I_{1} por substituição: ponha u=a^{2}-r^{2}, então du=-2r\,dr e r\,dr=-\tfrac{1}{2}du. Quando r=0 tem u=a^{2}; quando r=\dfrac{a}{\sqrt{2}} tem u=a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}=\dfrac{a^{2}}{2}. Assim
I_{1}=\int_{u=a^{2}}^{u=\frac{a^{2}}{2}}\sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) =\tfrac{1}{2}\int_{\frac{a^{2}}{2}}^{a^{2}}\sqrt{u}\,du.
Integrando \sqrt{u}=u^{1/2}:
I_{1}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{\frac{a^{2}}{2}}^{a^{2}} =\tfrac{1}{3}\Bigl((a^{2})^{3/2}-\bigl(\tfrac{a^{2}}{2}\bigr)^{3/2}\Bigr).
Como (a^{2})^{3/2}=a^{3} e \bigl(\tfrac{a^{2}}{2}\bigr)^{3/2}=a^{3}/2^{3/2}, fica
I_{1}=\frac{a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{1}{2^{3/2}}\Bigr).
Calcular I_{2} diretamente:
I_{2}=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} =\frac{1}{3}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{3} =\frac{a^{3}}{3\cdot 2^{3/2}}.

Passo 7

Subtrair I_{2} de I_{1} e multiplicar por 2\pi:
I_{1}-I_{2}=\frac{a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{1}{2^{3/2}}\Bigr)-\frac{a^{3}}{3\cdot 2^{3/2}} =\frac{a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{2}{2^{3/2}}\Bigr).
Observar que \dfrac{2}{2^{3/2}}=2^{1-3/2}=2^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Logo
I_{1}-I_{2}=\frac{a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).
Finalmente
V=2\pi\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr)=2\pi\cdot\frac{a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 8

Interpretação e checagem rápida: a expressão tem dimensão de volume (proporcional a a^{3}) e é positiva porque 1-1/\sqrt{2}>0. Faz sentido físico: é a porção central entre cone e semiesfera.

Resposta

V=\frac{2\pi a^{3}}{3}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

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