1 Considere o sólido
limitado pelas superfícies:
(cone)
(semi esfera). Determine o volume de
.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies que limitam um sólido
e pede o volume de
. Informações fornecidas:
- Superfície 1 (cone):
. - Superfície 2 (semi-esfera):
. - O sólido
é a região situada entre essas duas superfícies (isto é, acima do cone e abaixo da semi-esfera).
O que é pedido: determinar o volume deem função de .
Passo 2
Escolha das coordenadas e por que elas facilitam: como as equações envolvem
, é natural usar coordenadas cilíndricas
definidas por
Na mudança para coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
onde o fator
é o jacobiano da transformação (ele aparece porque áreas em coordenadas polares crescem com
). Vou usar isso para escrever a integral tripla que dá o volume.
Passo 3
Determinar a curva de interseção entre as superfícies (é importante para os limites de integração). Igualando as duas superfícies:
Elevando ao quadrado:
Reagrupando:
Em coordenadas cilíndricas isso é
No ponto de interseção o valor de
é
.
Passo 4
Determinar os limites de integração:
-
percorre toda a volta: (simetria circular). -
vai do eixo até a curva de interseção: . - Para cada
fixo, varia do cone até a semi-esfera, isto é
Passo 5
Escrever a integral do volume em coordenadas cilíndricas:
Integrando primeiro em
:
Portanto
Passo 6
Separar e calcular as integrais em
. Primeiro tirar o fator angular:
Escrevo como diferença de duas integrais:
então
.
Calcular
por substituição: ponha
, então
e
. Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Integrando
:
Como
e
, fica
Calcular
diretamente:
Passo 7
Subtrair
de
e multiplicar por
:
Observar que
. Logo
Finalmente
Passo 8
Interpretação e checagem rápida: a expressão tem dimensão de volume (proporcional a
) e é positiva porque
. Faz sentido físico: é a porção central entre cone e semiesfera.