Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto escalar. Informações fornecidas:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k} (este vetor foi dado, mas a pergunta pede apenas \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
    O que se pede: calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.

Passo 2

Definição e fórmula prática: o produto escalar (ou dot product) entre dois vetores em componentes é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Se
\mathbf{u} = u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k} \quad\text{e}\quad \mathbf{v} = v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k},
então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Explicando: multiplica-se a componente em x de um pelo x do outro, repete para y e z, e soma os três resultados. O produto escalar é um número (escalar), não um vetor.

Passo 3

Extrair as componentes de \mathbf{a} e \mathbf{b} (pegando-as do enunciado):
  • Para \mathbf{a}: a_x=1, a_y=1, a_z=-2.
  • Para \mathbf{b}: b_x=3, b_y=-2, b_z=1.

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar componente a componente:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Substituindo os valores:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(3) + (1)(-2) + (-2)(1).

Passo 5

Calcular cada termo e somar, passo a passo:
(1)(3)=3,
(1)(-2)=-2,
(-2)(1)=-2.
Somando:
3 + (-2) + (-2) = 3 - 2 - 2 = -1.

Passo 6

Interpretação curta (pra fixar): \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-1 é um número negativo, o que indica que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é maior que 90^\circ (isto é, são “mais opostos do que pares”). Mas para a prova o que importa é saber como calcular componente a componente como fizemos.

Resposta

-1

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