Questão 2: Considere a equação
que define
como uma função derivável de
.
(a) (10 pontos) Calcule
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Llenivando implicitamente temos:
(b) (8 pontos) Determine o coeficiente angular (ou a inclinação) da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto
.
c) (4 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto
P=(1,3) & y-y0=m(x-x0) & Rightarrow y-3=-194(x-1) & Rightarrow 4 y-12=-19 x+19 2 pontos & Rightarrow 4 y+19 x=31 2 pontos
(a) (10 pontos) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede: (a) a derivada
y' via diferenciação implícita; (b) o coeficiente angular da reta tangente em
P=(1,3) ; (c) a equação dessa reta.
Passo 2
Aplicamos a derivada em ambos os lados de
Para o primeiro termo usamos a regra do produto e regra da cadeia:
Para o segundo termo também produto:
No lado direito
ddx(2x+1)=2 .
Somando tudo:
Somando tudo:
Passo 3
Agrupamos os termos com
y' num lado e o resto no outro:
Fatorando
y' :
Passo 4
No ponto
P=(1,3) temos
Passo 5
A reta tangente em
(x0,y0)=(1,3) é
Multiplicando por
4 e rearranjando:
Resposta
(a)
y'=2+2y-3x^2y^22x^3y-2x
(b)
m=-194
(c)
19x+4y=31