Questão 2: Considere a equação x^3 y^2-2 x y=2 x+1 que define y como uma função derivável de x.
(a) (10 pontos) Calcule y^prime=d yd x, ou seja, a derivada de y em relação a x.
Llenivando implicitamente temos:
& dd x(x^3 y^2-2 x y)=dd x(2 x+1) 2 pontos Rightarrow & 3 x^2 y^2+2 x^3 y cdot y^prime-2 y-2 x y^prime=2 5 pontos Rightarrow & y^prime(2 x^3 y-2 x)=2+2 y-3 x^2 y^2 Rightarrow & y^prime=2+2 y-3 x^2 y^22 x^3 y-2 x 3 pontos
(b) (8 pontos) Determine o coeficiente angular (ou a inclinação) da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto P=(1,3).
m=d yd x|(1,3) Rightarrow m=2+2 cdot 3-3 cdot 1^2 cdot 3^22 pontos Rightarrow m=-194
c) (4 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto
P=(1,3) & y-y0=m(x-x0) & Rightarrow y-3=-194(x-1) & Rightarrow 4 y-12=-19 x+19 2 pontos & Rightarrow 4 y+19 x=31 2 pontos

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^3y^2-2xy=2x+1
e pede: (a) a derivada y' via diferenciação implícita; (b) o coeficiente angular da reta tangente em P=(1,3); (c) a equação dessa reta.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados de
x^3y^2-2xy=2x+1
Para o primeiro termo usamos a regra do produto e regra da cadeia:
ddx(x^3y^2) =3x^2y^2+x^3cdot2y,y' =3x^2y^2+2x^3y,y'
Para o segundo termo também produto:
ddx(2xy) =2y+2x,y'
No lado direito ddx(2x+1)=2.
Somando tudo:
3x^2y^2+2x^3y,y';-;(2y+2x,y')=2

Passo 3

Agrupamos os termos com y' num lado e o resto no outro:
2x^3y,y'-2x,y' =2+2y-3x^2y^2
Fatorando y':
y'(2x^3y-2x)=2+2y-3x^2y^2 Longrightarrow y'=2+2y-3x^2y^22x^3y-2x

Passo 4

No ponto P=(1,3) temos
m=y'(1,3) =2+2cdot3-3cdot1^2cdot3^22cdot1^3cdot3-2cdot1 =2+6-276-2 =-194

Passo 5

A reta tangente em (x0,y0)=(1,3) é
y-3 =m,(x-1) Longrightarrow y-3=-194(x-1)
Multiplicando por 4 e rearranjando:
4y-12=-19x+19 Longrightarrow 19x+4y=31

Resposta

(a) y'=2+2y-3x^2y^22x^3y-2x
(b) m=-194
(c) 19x+4y=31

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