Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência à mão. Essa sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre sequências, que faz parte da matemática. O objetivo é calcular os primeiros 10 termos da sequência definida por $ a_{n} = 5 \sqrt{n + 2} $, arredondar cada termo para quatro casas decimais, e depois traçar o gráfico dessa sequência. Também vamos verificar se essa sequência parece ter um limite, ou seja, se ela vai se aproximar de um número específico conforme $ n $ cresce, e, se sim, calcular esse limite. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular raízes quadradas e entender o conceito de limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular cada termo da sequência. A fórmula dada é $ a_{n} = 5 \sqrt{n + 2} $. Isso significa que, para cada número natural $ n $ (começando de 1, 2, 3, etc.), a gente soma 2 a esse número, tira a raiz quadrada desse resultado e depois multiplica por 5. Nosso objetivo é fazer isso para os primeiros 10 valores de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular cada termo de $ a_{n} $ para $ n = 1 $ até $ n = 10 $, arredondando para quatro casas decimais:
Passo 4
Agora que temos os primeiros 10 termos, a gente pode plotar o gráfico dessa sequência à mão. No eixo horizontal (x) vamos colocar os valores de $ n $ de 1 a 10, e no eixo vertical (y) os valores correspondentes de $ a_{n} $. Como os termos estão aumentando conforme $ n $ cresce, o gráfico será uma linha que sobe da esquerda para a direita.
Passo 5
Vamos analisar se essa sequência tem um limite. O limite de uma sequência é o valor para o qual seus termos se aproximam à medida que $ n $ fica muito grande (tende ao infinito). No nosso caso, a fórmula é $ a_{n} = 5 \sqrt{n + 2} $. Conforme $ n $ aumenta, $ \sqrt{n + 2} $ também aumenta sem parar, o que significa que $ a_{n} $ tende a crescer indefinidamente.
Passo 6
Como $ a_{n} $ continua aumentando e não se aproxima de nenhum número específico, podemos concluir que a sequência não tem um limite finito. Ela tende ao infinito, ou seja, conforme $ n $ cresce, $ a_{n} $ fica cada vez maior sem se estabilizar em um valor fixo.
Resposta
Os primeiros 10 termos da sequência são aproximadamente:
O gráfico mostra que a sequência cresce continuamente e ela não possui um limite finito, pois tende ao infinito conforme $ n $ aumenta.