Utilize o estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^wed>= 2+x-6|+x

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o módulo da expressão lvert x^2+x-6rvert + x. O conteúdo envolvido é o estudo de sinais de um polinômio de segundo grau, e vamos precisar encontrar as raízes de x^2+x-6 e determinar onde ele é positivo ou negativo.

Passo 2

Encontramos as raízes da equação x^2+x-6=0 usando a fórmula de Bhaskara.
$$
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$$
Portanto, as raízes são x=-1pmraiz1+242=-1pm52 e x=-3.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é positivo, o polinômio x^2+x-6 é positivo para x<=-3 e para x>=2, e negativo entre -3 e 2.

Passo 4

Agora escrevemos a expressão sem módulo em cada intervalo: nos intervalos em que x^2+x-6>=0 temos lvert x^2+x-6rvert = x^2+x-6, e onde x^2+x-6<0 temos lvert x^2+x-6rvert = -(x^2+x-6).

Passo 5

Para xin(-infty,-3]cup[2,infty):
lvert x^2+x-6rvert + x = (x^2+x-6) + x = x^2+2x-6
Para xin[-3,2]:
lvert x^2+x-6rvert + x = -(x^2+x-6) + x = -x^2 - x +6 + x = -x^2 +6

Resposta

lvert x^2+x-6rvert + x = x^2+2x-6, & xin(-infty,-3]cup[2,infty), - x^2+6, & xin[-3,2]

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