Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência à mão. Essa sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os 10 primeiros termos da sequência definida por
com quatro casas decimais, desenhar o gráfico desses pontos e investigar se há limite conforme
. Vamos usar conhecimentos de produção de termos de sequências e de comportamento assintótico de funções racionais.
Passo 2
Para encontrar cada termo basta substituir
na fórmula
e simplificar. Depois, arredondamos o resultado para quatro casas decimais.
Calculando termo a termo, obtemos:
Calculando termo a termo, obtemos:
Passo 3
Para traçar o gráfico à mão, fazemos um sistema de eixos em que o eixo horizontal é
(de 1 a 10) e o vertical é
, marcamos cada par
e ligamos apenas para visualizar a tendência.
Passo 4
Para ver se há limite, analisamos o comportamento quando
. Como o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, a fração cresce sem parar. Formalmente, dividindo polinômios:
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Resposta
Os 10 primeiros termos (4 casas decimais) são:
0,3333; 2,0000; 3,8571; 5,7778; 7,7273; 9,6923; 11,6667; 13,6471; 15,6316; 17,6190.
A sequência não possui limite finito: conforme ,
porque o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1).
0,3333; 2,0000; 3,8571; 5,7778; 7,7273; 9,6923; 11,6667; 13,6471; 15,6316; 17,6190.
A sequência não possui limite finito: conforme