Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência à mão. Essa sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
an=4 n^2-3 n2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular os 10 primeiros termos da sequência definida por an=4n^2-3n2n+1 com quatro casas decimais, desenhar o gráfico desses pontos e investigar se há limite conforme ntoinfty. Vamos usar conhecimentos de produção de termos de sequências e de comportamento assintótico de funções racionais.

Passo 2

Para encontrar cada termo basta substituir n=1,2,dots,10 na fórmula an=4n^2-3n2n+1 e simplificar. Depois, arredondamos o resultado para quatro casas decimais.
Calculando termo a termo, obtemos:
n=1: a1=4cdot1^2-3cdot12cdot1+1=13approx0,3333
n=2: a2=16-65=2,0000
n=3: a3=36-97=277approx3,8571
n=4: a4=64-129=529approx5,7778
n=5: a5=100-1511=8511approx7,7273
n=6: a6=144-1813=12613approx9,6923
n=7: a7=196-2115=17515approx11,6667
n=8: a8=256-2417=23217approx13,6471
n=9: a9=324-2719=29719approx15,6316
n=10: a10=400-3021=37021approx17,6190

Passo 3

Para traçar o gráfico à mão, fazemos um sistema de eixos em que o eixo horizontal é n (de 1 a 10) e o vertical é an, marcamos cada par (n,an) e ligamos apenas para visualizar a tendência.

Passo 4

Para ver se há limite, analisamos o comportamento quando ntoinfty. Como o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, a fração cresce sem parar. Formalmente, dividindo polinômios:
an=4n^2-3n2n+1=2n-tfrac7n2n+1approx2n-tfrac72, ngg1,
logo anto+infty e não existe limite finito. Caso quiséssemos, poderíamos aplicar também limntoinfty4n^22n=limntoinfty2n=+infty.

Resposta

Os 10 primeiros termos (4 casas decimais) são:
0,3333; 2,0000; 3,8571; 5,7778; 7,7273; 9,6923; 11,6667; 13,6471; 15,6316; 17,6190.
A sequência não possui limite finito: conforme ntoinfty, anto+infty porque o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1).

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