Utilize o estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^wed>= 2+x-6|+|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar os valores absolutos da expressão |x^2 + x - 6| + |x - 1|. O conteúdo é estudo de sinais: vamos identificar onde cada parte dentro do módulo muda de sinal, para escrever a expressão de forma sem módulo.

Passo 2

Começamos analisando o polinômio x^2 + x - 6. Ele fatoriza como:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Então as raízes são x = -3 e x = 2, e o sinal de x^2 + x - 6 será positivo fora desses pontos e negativo entre eles.

Passo 3

Agora analisamos a parte x - 1. A raiz é x = 1 e o sinal de x - 1 é negativo para x < 1 e positivo para x > 1.

Passo 4

Combinando as três raízes -3, 1, 2, temos quatro intervalos onde o sinal de cada expressão é constante:
(-infty, -3],
(-3, 1],
(1, 2],
(2, infty)

Passo 5

Em cada intervalo, substituímos |x^2 + x - 6| por x^2 + x - 6 ou -(x^2 + x - 6), e |x - 1| por x - 1 ou -(x - 1), obtendo:

Passo 6

No intervalo x <= -3:
|x^2 + x - 6| + |x - 1| = (x^2 + x - 6) + (1 - x) = x^2 - 5

Passo 7

Para -3 < x <= 1:
|x^2 + x - 6| + |x - 1| = -(x^2 + x - 6) + (1 - x) = -x^2 - 2x + 7

Passo 8

Para 1 < x <= 2:
|x^2 + x - 6| + |x - 1| = -(x^2 + x - 6) + (x - 1) = -x^2 + 5

Passo 9

Para x > 2:
|x^2 + x - 6| + |x - 1| = (x^2 + x - 6) + (x - 1) = x^2 + 2x - 7

Resposta

|x^2 + x - 6| + |x - 1| = x^2 - 5, & x <= -3, -x^2 - 2x + 7, & -3 < x <= 1, -x^2 + 5, & 1 < x <= 2, x^2 + 2x - 7, & x > 2

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