Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência à mão. Essa sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
an=ln (n+1)-ln n

Passo 1

O enunciado pede para calcular, com quatro casas decimais, os 10 primeiros termos da sequência an = ln(n+1) - ln n, traçar o gráfico discreto desses pontos e verificar se existe limite, calculando-o se existir. O conteúdo envolve propriedades de logaritmos e limites de sequência.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos ln a - ln b = lnl(abr). Assim cada termo fica
an = lnl(n+1r) - ln n = lnl(n+1nr)
Isso torna o cálculo direto: basta avaliar lnl((n+1)/nr).

Passo 3

Para n=1,2,dots,10 calculamos (n+1)/n e depois o logaritmo natural, arredondando a quatro casas decimais. Obtém-se:
a1=ln(2/1)approx0,6931
a2=ln(3/2)approx0,4055
a3=ln(4/3)approx0,2877
a4=ln(5/4)approx0,2231
a5=ln(6/5)approx0,1823
a6=ln(7/6)approx0,1542
a7=ln(8/7)approx0,1335
a8=ln(9/8)approx0,1178
a9=ln(10/9)approx0,1054
a10=ln(11/10)approx0,0953.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, plotamos cada ponto (n,an) no plano discreto para n=1 até 10. Vê-se que os valores decrescem conforme n cresce, aproximando-se de zero.

Passo 5

Para o limite, note que
limntoinftyn+1n=1
e como ln é contínua, temos
limntoinftyan=limntoinftylnl(n+1nr)=ln(1)=0
Portanto a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

Os dez primeiros termos (arredondados a quatro casas decimais) são: 0,6931; 0,4055; 0,2877; 0,2231; 0,1823; 0,1542; 0,1335; 0,1178; 0,1054; 0,0953. O limite da sequência é 0.

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