Utilize o estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^wed>= 2+x-6|+2|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para escrever sem módulos a expressão f(x)=|x^2+x-6|+2|x-1|. O conteúdo é estudo de sinais e eliminação de valor absoluto, e precisaremos achar as raízes de x^2+x-6 e de x-1, depois analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, achamos as raízes:
  • Para x^2+x-6=0: resolvendo a equação quadrática, obtemos x=-3 e x=2.
  • Para x-1=0: a raiz é x=1.
    Assim, os pontos críticos são -3,1,2, que dividem a reta em quatro intervalos.

Passo 3

Agora, estudamos o sinal de cada expressão em cada intervalo:
  1. Em x< -3:
    • x^2+x-6 em x=-4 16-4-6=6>0, logo é não-negativa.
    • x-1 é negativo.
  2. Em :
    • em x=0, x^2+x-6=-6<0, logo x^2+x-6<0.
    • x-1<0.
  3. Em :
    • em x=1.5, x^2+x-6=2.25+1.5-6=-2.25<0.
    • x-1>0.
  4. Em :
    • em x=3, x^2+x-6=9+3-6=6>0.
    • x-1>0.

Passo 4

Com esses sinais, eliminamos os módulos e simplificamos cada caso:
  • Para x< -3: : : : (f(x)=(x2+x-6)+2(x-1)=x2+x-6+2x-2=x^2+3x-8.

Resposta

f(x)= x^2 - x - 4, & x < -3 -x^2 - 3x + 8, & -3 <= x < 1 -x^2 + x + 4, & 1 <= x < 2 x^2 + 3x - 8, & x >= 2

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