Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência à mão. Essa sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
an=cos (n pin+1)

Passo 1

Nesta questão vamos estudar a sequência an=cosl(tfracnpin+1r). O objetivo é calcular os 10 primeiros termos com quatro casas decimais, esboçar o gráfico (colocando no papel os pontos (n,an)), e conjecturar se existe limite usando conceitos de sucessão e continuidade de funções trigonométricas.

Passo 2

Para obter cada termo, note que an=cosl(xnr) com xn=tfracnpin+1. Basta calcular xn em radianos e aplicar a função cosseno. Fazendo isso, obtemos (com arredondamento às quatro casas decimais):
a1=costfrac1pi2=0,0000, a2=costfrac2pi3=-0,5000, a3=costfrac3pi4=-0,7071, a4=costfrac4pi5=-0,8090, a5=costfrac5pi6=-0,8660, a6=costfrac6pi7=-0,9010, a7=costfrac7pi8=-0,9239, a8=costfrac8pi9=-0,9397, a9=costfrac9pi10=-0,9511, a10=costfrac10pi11=-0,9595

Passo 3

Para traçar o gráfico à mão, desenhe um sistema de coordenadas com o eixo x variando de 1 a 10 e o eixo y de, por exemplo, -1,1 a 0,1. Marque cada ponto (n,an) conforme calculado e ligue-os levemente (ou apenas visualize a tendência).

Passo 4

Observando os valores, vemos que xn=tfracnpin+1topi quando ntoinfty. Como o cosseno é contínuo, temos
limntoinftyan=limntoinftycos(xn)=cosl(limntoinftyxnr)=cos(pi)=-1

Passo 5

Portanto, a sequência tem limite e ele é o valor -1.

Resposta

Os 10 primeiros termos arredondados são:
0,0000; -0,5000; -0,7071; -0,8090; -0,8660; -0,9010; -0,9239; -0,9397; -0,9511; -0,9595.\nO limite da sequência é -1.

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