Questão 6: Calcule a integral dupla:
integral duplaD(y^2-x) d y d x, D é limitada por x=y^2 e x=3-2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A região é delimitada pelas curvas e . Ou seja, nossa missão é calcular a área sob a superfície dentro dessa região específica. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e estabelecer os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas y^2 = 3 - 2y^2 e 3y^2 = 3 implies y^2 = 1 implies y = pm 1 se intersectam. Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para cada valor de integraly=-1^1 integralx=y^2^3-2y^2 (y^2 - x) , dx , dy entre e , varia de até . Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralx=y^2^3-2y^2 (y^2 - x) , dx :
integral (y^2 - x) , dx = y^2x - 12x^2
Integrando termo a termo:
[ y^2(3 - 2y^2) - 12(3 - 2y^2)^2 ] - [ y^2(y^2) - 12(y^2)^2 ]
Agora, substituímos os limites de :

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
y^2(3 - 2y^2) = 3y^2 - 2y^4
Segundo termo:
12(3 - 2y^2)^2 = 12(9 - 12y^2 + 4y^4) = 92 - 6y^2 + 2y^4
Terceiro termo:
y^2(y^2) = y^4
Quarto termo:
12(y^2)^2 = 12y^4
Substituindo de volta:
(3y^2 - 2y^4) - (92 - 6y^2 + 2y^4) - (y^4 - 12y^4)
Simplificando:
3y^2 - 2y^4 - 92 + 6y^2 - 2y^4 - y^4 + 12y^4 = 9y^2 - 3y^4 - 92

Passo 6

Agora, substituímos a expressão simplificada na integral externa:
integral-1^1 (9y^2 - 3y^4 - 92) dy
Integrando termo a termo:
integral 9y^2 , dy = 3y^3 integral -3y^4 , dy = -35y^5 integral -92 , dy = -92y
Então, a integral se torna:
[ 3y^3 - 35y^5 - 92y ]-1^1

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites 3(1)^3 - 35(1)^5 - 92(1) = 3 - 35 - 92 = 3010 - 610 - 4510 = -2110 e 3(-1)^3 - 35(-1)^5 - 92(-1) = -3 + 35 + 92 = -3010 + 610 + 4510 = 2110 :
Para -2110 - 2110 = -4210 = -215 :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral dupla vale .

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