Questão 6: Calcule a integral dupla:
é limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. A região
é delimitada pelas curvas
e
. Ou seja, nossa missão é calcular a área sob a superfície
dentro dessa região específica. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e estabelecer os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as curvas
e
se intersectam. Igualando as duas equações:
Resolvendo para
:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites de
:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos a expressão simplificada na integral externa:
Integrando termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla vale
.