Calcule o quociente das diferenças para cada função, considere h neq 0. Simplifique sua resposta.
f(x)=1x, f(x)-f(a)x-a

Passo 1

A questão quer calcular o quociente das diferenças da função , ou seja, . Isso faz parte do cálculo diferencial e pra resolver a gente vai usar a definição de quociente das diferenças e técnicas de manipulação de frações.

Passo 2

Primeiro a gente substitui f(x)-f(a)x-a = 1x - 1ax - a e na expressão:
Agora, pra subtrair as frações, a gente precisa de um denominador comum.

Passo 3

O denominador comum entre 1x - 1a = a - xa x e f(x)-f(a)x-a = a - xa xx - a é , então:
Substituindo de volta, temos:

Passo 4

Dividir por a - xa xx - a = a - xa x cdot 1x - a equivale a multiplicar pelo inverso, ficando:
= -(x - a)a x cdot 1x - a
E como , o numerador vira:

Passo 5

Por fim, a gente cancela o termo = -1a x no numerador e no denominador:

Resposta

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