Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear (1+t^2)y' + 4t,y = (1+t^2)^-2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y' + P(t)y = Q(t) dividindo todos os termos por (1+t^2):
y' + 4t1+t^2,y = (1+t^2)^-3

Passo 3

O fator integrante mu(t) satisfaz mu(t) = expl(integral P(t),dtr). Aqui
P(t) = 4t1+t^2,
então
mu(t) = expl(integral 4t1+t^2,dtr) = expl(2ln(1+t^2)r) = (1+t^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t):
(1+t^2)^2y' + 4t(1+t^2)y = (1+t^2)^-1
O lado esquerdo é a derivada de (1+t^2)^2y, ou seja,
ddtl[(1+t^2)^2yr] = (1+t^2)^-1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^2)^2y = integral (1+t^2)^-1 ,dt = arctan t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Por fim, isole y:
y = arctan t + C(1+t^2)^2

Resposta

y = \frac{\arctan t + C}{(1+t{2}){2}}

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