y^prime-2 y=c^2 t, y(0)=2

Passo 1

Resumo da questão: resolver a EDO de primeira ordem linear y' - 2y = c^2t com y(0) = 2, usando o método do fator integrante.

Passo 2

Para EDO linear na forma y' + p(t)y = g(t), o fator integrante é mu(t) = e^integral p(t) , dt. Aqui p(t) = -2, então mu(t) = e^-2t.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), ficamos com
e^-2ty' - 2e^-2ty = e^-2tc^2t

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada de y e^-2t, ou seja,
ddt(y e^-2t) = e^-2tc^2t

Passo 5

Escrevendo c^2t = e^2tln c, temos e^-2tc^2t = e^2t(ln c - 1). Integrando:
y e^-2t = integral e^2t(ln c - 1) , dt + C = 12(ln c - 1) e^2t(ln c - 1) + C

Passo 6

Multiplicando por e^2t, a solução geral vira
y(t) = 12(ln c - 1) e^2t(ln c - 1) + 2t + C e^2t
Como 2t(ln c - 1) + 2t = 2tln c, simplifica para
y(t) = 12(ln c - 1) c^2t + C e^2t

Passo 7

Aplicando y(0) = 2, obtemos
2 = 12(ln c - 1) + C
e portanto
C = 2 - 12(ln c - 1)

Passo 8

Substituindo C na solução geral, a solução particular é
y(t) = 12(ln c - 1) c^2t + l(2 - 12(ln c - 1)r) e^2t

Resposta

y(t) = 12(ln c - 1) c^2t + l(2 - 12(ln c - 1)r) e^2t

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