[2,2] Usando o método de Gauss-Jordan, obtenha a inversa da matriz
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & -3 \\\\ -2 & 4 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Gauss–Jordan para encontrar a inversa da matriz
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & -3 \\\\ -2 & 4 & 4 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz \mathbf{A} é 3\times3.
  • A tarefa é calcular \mathbf{A}^{-1} (assume-se que a inversa exista).
  • Não há outras informações externas.

Passo 2

Rápida explicação do método (aula curta, sem pular etapas):
  • Para achar \mathbf{A}^{-1} pelo método de Gauss–Jordan, constrói-se a matriz aumentada \bigl[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\bigr], onde \mathbf{I} é a matriz identidade 3\times3.
  • Aplica-se operações elementares por linha até transformar a parte esquerda em \mathbf{I}. As operações elementares permitidas são:
    • trocar duas linhas (R_i \leftrightarrow R_j);
    • multiplicar uma linha por um escalar não nulo (k R_i);
    • somar a uma linha um múltiplo de outra (R_i \leftarrow R_i + k R_j).
  • Essas operações preservam a igualdade de solução e, ao final, a parte direita da matriz aumentada será \mathbf{A}^{-1}.
  • Vantagem do Gauss–Jordan: resolve simultaneamente as colunas da inversa sem precisar resolver três sistemas separados.

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial:
\bigl[\mathbf{A}\mid \mathbf{I}\bigr] = \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 4 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vamos usar pivôs nas colunas 1, 2, 3 em sequência e zerar os demais elementos dessas colunas.]

Passo 4

Zerar entradas abaixo do pivô da coluna 1 (o pivô em R_1 já é 1):
  • Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
  • Aplicar R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada linha:
  • R_2 - R_1: \begin{array}{r} (1,\,1,\, -3\mid 0,\,1,\,0) - (1,\,2,\,-2\mid 1,\,0,\,0)\\[4pt] = (0,\,-1,\,-1\mid -1,\,1,\,0). \end{array}
  • R_3 + 2R_1: \begin{array}{r} (-2,\,4,\,4\mid 0,\,0,\,1) + 2(1,\,2,\,-2\mid 1,\,0,\,0)\\[4pt] = (0,\,8,\,0\mid 2,\,0,\,1). \end{array}
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 8 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Obter pivô unitário na linha 2, coluna 2. Atualmente essa entrada é -1, então multiplicamos a linha por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Resultado de R_2:
(0,\,1,\,1\mid 1,\,-1,\,0).
Aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 8 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo do pivô em R_2):
  • Para zerar em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
  • Para zerar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - 8R_2.
Calculemos:
  • R_1 - 2R_2: \begin{array}{l} (1,\,2,\,-2\mid 1,\,0,\,0) - 2(0,\,1,\,1\mid 1,\,-1,\,0)\\[4pt] = (1,\,0,\,-4\mid 1-2,\;0-2(-1),\;0-2\cdot0)\\[4pt] = (1,\,0,\,-4\mid -1,\,2,\,0). \end{array}
  • R_3 - 8R_2: \begin{array}{l} (0,\,8,\,0\mid 2,\,0,\,1) - 8(0,\,1,\,1\mid 1,\,-1,\,0)\\[4pt] = (0,\,0,\,-8\mid 2-8,\;0-8(-1),\;1-8\cdot0)\\[4pt] = (0,\,0,\,-8\mid -6,\,8,\,1). \end{array}
Matriz atual:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -4 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -6 & 8 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Obter pivô unitário na linha 3, coluna 3. Atualmente é -8, então dividimos R_3 por -8:
R_3 \leftarrow \frac{1}{-8} R_3.
Cálculo dos coeficientes:
\frac{-6}{-8}=\tfrac{3}{4},\qquad \frac{8}{-8}=-1,\qquad \frac{1}{-8}=-\tfrac{1}{8}.
Assim
R_3=(0,\,0,\,1\mid \tfrac{3}{4},\,-1,\,-\tfrac{1}{8}).
Matriz:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -4 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{4} & -1 & -\tfrac{1}{8} \end{array}\right].]

Passo 8

Zerar as outras entradas da coluna 3 (acima do pivô em R_3):
  • Para R_1: aplicar R_1 \leftarrow R_1 + 4R_3.
  • Para R_2: aplicar R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Calculemos as partes direita:
  • R_1 + 4R_3: \begin{array}{l} (-1,\,2,\,0) + 4\bigl(\tfrac{3}{4},\,-1,\,-\tfrac{1}{8}\bigr)\\[4pt] = (-1 + 4\cdot\tfrac{3}{4},\; 2 + 4(-1),\; 0 + 4(-\tfrac{1}{8}))\\[4pt] = (-1 + 3,\; 2 -4,\; 0 -\tfrac{1}{2})\\[4pt] = (2,\; -2,\; -\tfrac{1}{2}). \end{array}
  • R_2 - R_3: \begin{array}{l} (1,\,-1,\,0) - \bigl(\tfrac{3}{4},\,-1,\,-\tfrac{1}{8}\bigr)\\[4pt] = (1-\tfrac{3}{4},\; -1 -(-1),\; 0 -(-\tfrac{1}{8}))\\[4pt] = (\tfrac{1}{4},\; 0,\; \tfrac{1}{8}). \end{array}
Depois dessas operações, a parte esquerda fica identidade e a parte direita é a inversa:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 2 & -2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{8}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{4} & -1 & -\tfrac{1}{8} \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretação final: a matriz à direita da barra na matriz aumentada final é exatamente \mathbf{A}^{-1}. Portanto a inversa foi encontrada por Gauss–Jordan e está expressa com frações exatas (sem aproximação decimal).

Resposta

\mathbf{A}^{-1}= \left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{8}\\[6pt] \tfrac{3}{4} & -1 & -\tfrac{1}{8} \end{array}\right]]

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