Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.
f(x)=\sqrt{x+2}, \quad \frac{f(x)-f(1)}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o quociente de diferenças
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
para a função f(x)=\sqrt{x+2}. Vamos precisar calcular f(1), escrever o quociente e depois usar a racionalização (multiplicar por conjugado) para simplificar.

Passo 2

Calcular f(1):
f(1)=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}.

Passo 3

Substituindo no quociente de diferenças, temos
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{x-1}.

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjugada \bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3}\bigr):
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}} = \frac{\,(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{3})^2\,}{(x-1)\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})}.

Passo 5

Calcular o numerador e cancelar x-1:
(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x+2)-3 = x-1,
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\frac{x-1}{(x-1)\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}.

Resposta

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}.

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