Dada u=\operatorname{sen}\left(x^{2}+2 x y\right)+\cos \left(-x+y^{3}\right), \operatorname{com} x=\frac{r}{s} e y=r^{2}. Calcule \frac{\partial u}{\partial r}, \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

O enunciado define
u = \sin\bigl(x^{2} + 2xy\bigr) + \cos\bigl(-x + y^{3}\bigr),
com as substituições
x = \frac{r}{s}, \quad y = r^{2}.
Queremos calcular as derivadas parciais \frac{\partial u}{\partial r} e \frac{\partial u}{\partial s}, para o que vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas parciais de u em relação a x e a y.
A derivada de \sin(g) é \cos(g)\,g' e a de \cos(h) é -\sin(h)\,h'.
Para
g(x,y) = x^{2} + 2xy, \quad h(x,y) = -x + y^{3},
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = \cos\bigl(x^{2}+2xy\bigr)\,\bigl(2x+2y\bigr) \;+\;\bigl[-\sin\bigl(-x+y^{3}\bigr)\bigr]\,( -1) \;=\; 2(x+y)\,\cos\bigl(x^{2}+2xy\bigr) \;+\;\sin\bigl(-x+y^{3}\bigr),
\frac{\partial u}{\partial y} = \cos\bigl(x^{2}+2xy\bigr)\,(2x) \;+\;\bigl[-\sin\bigl(-x+y^{3}\bigr)\bigr]\,(3y^{2}) \;=\; 2x\,\cos\bigl(x^{2}+2xy\bigr) \;-\;3y^{2}\,\sin\bigl(-x+y^{3}\bigr).

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a r e s:
x = \frac{r}{s} \;\Rightarrow\; \frac{\partial x}{\partial r} = \frac{1}{s}, \quad \frac{\partial x}{\partial s} = -\frac{r}{s^{2}},
y = r^{2} \;\Rightarrow\; \frac{\partial y}{\partial r} = 2r, \quad \frac{\partial y}{\partial s} = 0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \frac{\partial u}{\partial r}:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} \;+\; \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo,
\frac{\partial u}{\partial r} = \Bigl[2(x+y)\,\cos(x^{2}+2xy)+\sin(-x+y^{3})\Bigr]\;\frac{1}{s} \;+\; \Bigl[2x\,\cos(x^{2}+2xy)-3y^{2}\,\sin(-x+y^{3})\Bigr]\;2r.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \frac{\partial u}{\partial s}:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} \;+\; \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Como \partial y/\partial s=0, fica
\frac{\partial u}{\partial s} = \Bigl[2(x+y)\,\cos(x^{2}+2xy)+\sin(-x+y^{3})\Bigr]\;\bigl(-\tfrac{r}{s^{2}}\bigr).

Resposta

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{2(x+y)\,\cos(x^{2}+2xy)+\sin(-x+y^{3})}{s} \;+\; 2r\Bigl[2x\,\cos(x^{2}+2xy)-3y^{2}\,\sin(-x+y^{3})\Bigr],
\frac{\partial u}{\partial s} = -\frac{r}{s^{2}}\, \bigl[2(x+y)\,\cos(x^{2}+2xy)+\sin(-x+y^{3})\bigr],
onde x=\tfrac{r}{s} e y=r^{2}.

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