Verifique se a função \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}) dada é uma solução para a equação diferencial (a e \boldsymbol{b} são constantes).
\boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}+\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} ; \quad \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})=-\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{x}^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(x) = -\frac{1}{x^2}
é solução da equação diferencial
x^2\,dy + 2x\,y\,dx = 0.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais e a técnica é simplesmente substituir y(x) e seu diferencial na equação e checar se o resultado é identicamente zero.

Passo 2

Calcule o diferencial dy a partir de y(x) = -x^{-2}. Primeiro encontramos a derivada
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(-x^{-2}\Bigr) = 2\,x^{-3}.
Logo, em termos de diferenciais,
dy = 2\,x^{-3}\,dx.

Passo 3

Substitua dy e y na equação x^2\,dy + 2x\,y\,dx = 0. Temos
x^2\,dy + 2x\,y\,dx = x^2\bigl(2\,x^{-3}\,dx\bigr) \;+\; 2x\bigl(-x^{-2}\bigr)\,dx.
Simplificando cada termo:
x^2\cdot2\,x^{-3}\,dx = 2\,x^{-1}\,dx, \qquad 2x\cdot(-x^{-2})\,dx = -2\,x^{-1}\,dx.
Portanto,
x^2\,dy + 2x\,y\,dx = 2\,x^{-1}\,dx \;-\; 2\,x^{-1}\,dx = 0.

Resposta

A função \displaystyle y(x) = -\frac{1}{x^2} satisfaz identicamente a equação diferencial dada.

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